« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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Ligne 27 :
#pour <math>D=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2\le1\}</math> :
##<math>\iiint_D\cos x\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math>,
##<math>\iiint_D\frac{\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz}\sqrt{x^2+y^2+(z-a)^2}\quad(a>1)</math>
#<math>\iiint_D\frac z\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> où <math>D=\{(x,y,z)\in\R^2\times[0,2]\mid x^2+y^2\le4\}</math>
#<math>\iiint_{0\le x\le y\le z\le1}xyz\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\iint_{x^2+y^2\le1}\mathrm dx\,\mathrm dy\times\int_0^hz\,\mathrm dz=\pi\frac{h^2}2</math>.
Ligne 42 ⟶ 43 :
##Pour <math>0<r<a</math>, <math>\int_{-\frac\pi2}^\frac\pi2\frac{\cos\varphi\,\mathrm d\varphi}\sqrt{r^2+a^2-2ra\sin\varphi}=\left[\frac\sqrt{r^2+a^2-2ra\sin\varphi}{-ra}\right]_{-\frac\pi2}^\frac\pi2=\frac2a</math>, et <math>\int_0^1\frac2a\,2\pi r^2\mathrm dr=\frac{4\pi}{3a}</math>.
#<math>\int_0^2z\,\mathrm dz\iint_{x^2+y^2\le4}\frac{\mathrm dx\,\mathrm dy}\sqrt{x^2+y^2}=2\iint_{0\le r\le2\atop0\le\theta\le2\pi}\frac{r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta}r=8\pi</math>.
#<math>\begin{align}\iiint_{0\le x\le y\le z\le1}xyz\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz&=\int_0^1\left(\int_x^1\left(\int_y^1z\,\mathrm dz\right)y\,\mathrm dy\right)x\,\mathrm dx=\int_0^1\left(\int_x^1\frac12(1-y^2)y\,\mathrm dy\right)x\,\mathrm dx\\&=\frac12\int_0^1\left(\int_x^1(y-y^3)\,\mathrm dy\right)x\,\mathrm dx=\frac12\int_0^1\left[\frac{y^2}2-\frac{y^4}4\right]_x^1x\,\mathrm dx=\frac12\int_0^1\left(\frac14-\frac{x^2}2+\frac{x^4}4\right)x\,\mathrm dx\\&=\frac18\int_0^1(x^5-2x^3+x)dx=\frac18\left(\frac16-\frac12+\frac12\right)=\frac1{48}.\end{align}</math>
}}
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