« Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes sans paramètre » : différence entre les versions
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→Exercice 1-2 : +Solveur en ligne de systèmes d'équations |
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Ligne 7 :
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Résoudre les systèmes :
:<math>(S_1)\begin{cases}x+y-z&=0\\x-y&=0\\x+4y+z&=0\end{cases}\qquad
Ligne 51 :
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Sans chercher à résoudre les systèmes suivants, discuter la nature de leurs ensembles de solutions :
:<math>(S_1)\begin{cases}x+y-z&=0\\x-y&=0\\+y+z&=0\end{cases}\qquad
Ligne 62 :
<math>(S_3)</math> a toute une droite affine (dans <math>\R^3</math>) de solutions car <math>L_1\text{ et }L_3\Rightarrow L_2</math>.
}}
==Exercice 1-3==
'''QCM — Test de cours''' : il y a au moins une réponse exacte par question. Certaines questions nécessitent d'écrire quelques lignes au brouillon.
#Soit <math>(S)</math> un système linéaire homogène. Alors :
##le système <math>(S)</math> possède toujours une infinité de solutions.
##il peut arriver que <math>(S)</math> n'ait aucune solution
##l'ensemble des solutions de <math>(S)</math> est <math>\{(0,0,0) \}</math>
##si le système <math>(S)</math> possède une solution non nulle, alors il possède une infinité de solutions.
#Soit <math>(S)</math> un système d'équations linéaires à 2 inconnues.
##il peut arriver que le système <math>(S)</math> possède un cercle non trivial comme ensemble de solutions.
##si l'ensemble des solutions contient une droite de <math>\R^2</math> et un point en dehors de cette droite alors l'ensemble des solutions est $\R ^2$.
##l'ensemble des solutions est soit un point, soit une droite de <math>\R^2</math>.
##si le système homogène associé à <math>(S)</math> a une unique solution alors <math>(S)</math> a une unique solution.
#Soit <math>m</math> un paramètre réel. Dans quel cas obtient-on toujours toujours un système équivalent en effectuant :
#:<math>(a) \ L_1 \leftarrow -3L_2 \ ? \qquad (b)\ L_2 \leftarrow mL_1-3L_2 \ ? \qquad (c)\ L_1 \leftarrow m L_1-3 L_2 ?</math>
#Soit <math>(S)</math> un système de trois équations à trois inconnues. Soit le système <math>(S')</math> obtenu à partir de <math>(S)</math> en effectuant les opérations suivantes sur les lignes du système <math>(S)</math> :
#:<math>\left\{\begin{array}{rrr}
L_1 & \leftarrow L_1-L_2 \\
L_2 & \leftarrow L_2-L_3 \\
L_3 & \leftarrow L_3-L_1 \end{array} \right.</math> Alors
##le système <math>(S)</math> est équivalent au système <math>(S')</math>.
##les deux systèmes ont même ensemble de solution.
##le système <math>(S)</math> n'est pas toujours équivalent au système <math>(S')</math>.
##le système <math>(S)</math> n'est pas équivalent au système <math>(S')</math> mais ils peuvent avoir m\^eme ensemble de solution.
#L'ensemble des solutions du système : <math>\left\{\begin{array}{rrrcl}
x & & +z & = & 1 \\
& y & -z & = & 0 \end{array} \right.</math> est :
##<math>\{(1,0,0)\}</math>
##<math>\{ (0,0,1) \}</math>
##<math>\{(1,0,0)+t(-1,1,1)\mid t \in \R\}</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] la droite affine passant par le point <math>(1,0,0)</math> et dirigée par le vecteur <math>(-1,1,1)</math>
##<math>\{(2,-2,-2)+t( -1,-1,1))\mid t \in \R\}</math> c.-à-d. la droite affine passant par le point <math>(2,-2,-2)</math> et dirigée par le vecteur <math>(-1,-1,1)</math>.
{{Solution|contenu=
1 : 4, 2 : 2, 3 : (b), 4 : 3, 5 : 3.
}}
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