« Fonction logarithme/Exercices/Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle » : différence entre les versions
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Q5+Q6 -> Exercice fini |
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Ligne 13 :
</math>
#Étudier les variations de <math>g\,</math>.▼
#Étudier la limite de <math>g\,</math> en <math>-1\,</math>.▼
#Étudier la limite de <math>g\,</math> en <math>+\infty</math>▼
#Tracer la courbe représentative de <math>g\,</math>.▼
#Démontrer que <math>g\,</math> est solution de l'équation différentielle <math>(E)~:~(1+x)~y '+2y=\ln(1+x)</math>▼
{{boîte déroulante|titre=Solution question 1|contenu=
Ligne 37 ⟶ 31 :
*Pour tout <math>x \in ]-1 ; +\infty[,~g'(x)=\frac12~\left ( 1 \times \frac1{1+x} \right )</math>
{{cadre simple|contenu=Finalement, pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[, g'(x)=\frac 1{2+2x}</math>}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution question 2|contenu=
Pour tout <math>x\in ]-1;+\infty[,~2+2x>0</math>, donc sur l'intervalle de définition, la fonction <math>g'\,</math> est strictement positive. Par conséquent : {{cadre simple|contenu=''g'' est une fonction strictement croissante.}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution question 3|contenu=
<math>\lim_{t \rightarrow -1^+} t+1 = 0^+</math> et <math>\lim_{t \rightarrow 0^+} \ln(t) = -\infty</math>
Ligne 48 ⟶ 47 :
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x \rightarrow -1^+} g(x)= -\infty</math>}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution question 4|contenu=
<math>\lim_{t \rightarrow +\infty} t+1 = +\infty</math> et <math>\lim_{t \rightarrow +\infty} \ln(t) = +\infty</math>
Ligne 56 ⟶ 58 :
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x)= +\infty</math>}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution question 5|contenu=[[Image:WV-ExoMaths00001.gif]]}}
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{{boîte déroulante|titre=Solution question 6|contenu=Soit <math>x \in ]-1;+\infty[</math>
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