« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
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Ligne 55 :
:<math>y_n:=x_N-\frac{u(x_N)}{u(x_n)}x_n</math>.
Par construction, la suite <math>(y_n)_{n\ge N}</math> est à valeurs dans <math>\ker u</math> et converge vers <math>x_N\notin\ker u</math>, ce qui conclut.
}}
==Exercice 2-4==
Soit <math>E=C([0,1])</math> l'espace vectoriel des fonctions continues sur <math>[0,1]</math>, muni de la norme
:<math>\|u\|_1=\int_0^1|u(t)|\,\mathrm dt</math>.
On considère l'application linéaire <math>\Phi:E\to E</math> définie par <math>\Phi u(t)=tu(t)</math>, pour <math>u\in E</math>.
#Montrer que <math>\Phi</math> est continue et <math>|\!|\!|\Phi|\!|\!|\le1</math>.
#En considérant la suite <math>(u_n)_n</math> définie par <math>u_n(t)=(n+1)t^n</math>, montrer que <math>|\!|\!|\Phi|\!|\!|=1</math>.
#Montrer qu'il n'existe pas de fonction <math>u\in E</math> non nulle telle que <math>\|\Phi u\|_1=\|u\|_1</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\forall u\in E\quad\|\Phi u\|_1=\int_0^1t|u(t)|\,\mathrm dt\le\|u\|_1</math>.
#Pour tout <math>n\in\N</math>, <math>\|u_n\|_1=1</math> et <math>\|\Phi u_n\|_1=\frac{n+1}{n+2}</math> donc <math>|\!|\!|\Phi|\!|\!|\ge\frac{n+1}{n+2}</math>, si bien que <math>|\!|\!|\Phi|\!|\!|\ge\sup_{n\in\N}\frac{n+1}{n+2}=1</math>. Joint à la question précédente, ceci prouve que <math>|\!|\!|\Phi|\!|\!|=1</math>.
#Montrons que pour toute fonction non nulle <math>u\in E</math>, <math>\|\Phi u\|_1<\|u\|_1</math>. Puisque <math>u</math> est non nulle et continue, il existe <math>a>0</math> et un intervalle non trivial <math>I\subset[0,1]</math> tels que sur <math>I</math>, <math>|u|\ge a</math>. On a alors : <math>\|u\|_1-\|\Phi u\|_1=\int_0^1(1-t)|u(t)|\,\mathrm dt\ge a\int_I(1-t)\,\mathrm dt>0</math>.
}}
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