« Espaces de Banach/Exercices/Topologie » : différence entre les versions

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#Soit <math>D</math> le {{w|diamètre}} de <math>X</math>. <math>\forall b\in X\quad\|f(b)\|\le\|f(a)\|+D^\mu\sup_{x\ne y}\frac{\|f(x)-f(y)\|}{d(x,y)^\mu}</math> donc <math>\|f\|_\infty\le\max(1,D^\mu)\|f\|_a</math>.
#[[Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités|La fonction puissance d'exposant <math>\mu</math> est <math>\mu</math>-höldérienne]] donc les fonctions <math>f_a</math> appartiennent bien à <math>\operatorname{Hold}^{0,\mu}(\Omega,\R)</math>.<br>Pour tous <math>b,c\in\Omega</math>, distincts, <math>\|f_b-f_c\|_a\ge\frac{|(f_b-f_c)(b)-(f_b-f_c)(c)\|}{|b-c|^\mu}=2</math>. Comme <math>\Omega</math> n'est pas dénombrable, cela prouve que <math>\left(\operatorname{Hold}^{0,\mu}(X,E),\|~\|_a\right)</math> n'est pas séparable.
}}
 
==Exercice 4-2==
Soit <math>E=C^1([-1,1])</math> l'espace vectoriel des fonctions de classe C{{exp|1}} sur <math>[-1,1]</math>.
#On munit <math>E</math> de la norme <math>\|\cdot\|_\infty</math>. Montrer que pour cette norme, la suite <math>(f_n)_{n\ge1}</math> définie par <math>f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac1{n^2}}</math> converge vers <math>f:x\mapsto |x|</math>, et en déduire que <math>(E,\|\cdot\|_\infty)</math> n'est pas un espace de Banach.
#On munit <math>E</math> de la norme <math>\|f\|=\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty</math>. Montrer que <math>(E,\|\cdot\|)</math> est un espace de Banach.
{{Solution|contenu=
#<math>\forall x>0\quad\left(\sqrt{x^2+\frac1{n^2}}-|x|\right)'=\frac x\sqrt{x^2+\frac1{n^2}}-1<0</math> donc le maximum de la fonction (positive) <math>f_n-f</math> est atteint en <math>x=0</math> et vaut <math>\frac1n</math>. Cela prouve que dans <math>(E,\|\cdot\|_\infty)</math>, <math>(f_n)_{n\ge1}</math> est de Cauchy mais pas convergente (puisque <math>f\notin E</math>).
#Si <math>(f_n)</math> et <math>(f'_n)</math> sont de Cauchy pour la norme <math>\|\cdot\|_\infty</math>, alors <math>f_n\to f</math> et <math>f'_n\to g</math>, uniformément sur <math>[-1,1]</math>, et <math>f'=g</math> car <math>\int_0^xg=f(x)</math>, par passage à la limite de <math>\int_0^xf'_n=f_n(x)</math>.
}}