« Espaces de Banach/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
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#<math>S\circ T\left(B_E(0,1)\right)\subset|\!|\!|T|\!|\!|S(B_F(0,1))</math>.
#<math>\ker(\mathrm{id}_E-T)</math> est un fermé de <math>E</math> donc sa boule unité fermée aussi. Or cette boule est incluse dans <math>T\left(B_E(0,1)\right)</math>. Elle est donc compacte, et l'on conclut par le [[Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Compacité et dimension finie|théorème de Riesz]].
}}
==Exercice 3-2==
On considère l'espace de Banach <math>E=C([0,1])</math> muni de la norme <math>\|\cdot\|_\infty</math>.
Soit <math>k</math> une fonction continue sur <math>[0,1]\times [0,1]</math>, bornée par <math>M>0</math>.
On définit une application linéaire<math>K:E\to E</math> par <math>Kf(x)=\int_0^xk(x,y)f(y)\,\mathrm dy</math>.
Pour tout <math>n\in\N</math>, on note <math>K^n</math> l'application itérée <math>n</math> fois de <math>K</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>K^nf=K(K^{n-1}f)</math>.
#Montrer que pour tout <math>n\in\N</math>, <math>|K^nf(x)|\le\frac{(Mx)^n\|f\|_\infty}{n!}</math>, pour tout <math>x\in[0,1]</math>.
#Soient <math>\lambda\in\C^*</math> et <math>f\in E</math>. Montrer que la série <math>\sum\lambda^{-(n+1)}K^nf</math> est convergente dans <math>E</math>.
#En déduire que l'équation de Volterra, <math>(\lambda I-K)g=f</math>, possède une unique solution <math>g</math> dans <math>E</math>.
{{Solution|contenu={{Wikipédia|Équation intégrale de Volterra}}
#Récurrence. <math>|K^{n+1}f(x)|\le M\int_0^x\frac{(My)^n\|f\|_\infty}{n!}\,\mathrm dy\le M\int_0^x|K^nf(y)|\,\mathrm dy\le\frac{(Mx)^{n+1}\|f\|_\infty}{(n+1)!}</math>.
#<math>\sum\left|\lambda^{-(n+1)}\right|\|K^nf\|_\infty\le|\lambda|\sum\frac{|M/\lambda|^n}{n!}\|f\|_\infty\le|\lambda|\|f\|_\infty\operatorname e^{M/|\lambda|}<\infty</math>.
#<math>\lambda I-K</math> est inversible.
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