« Espaces de Banach/Exercices/Théorème de Banach-Steinhaus » : différence entre les versions
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Ligne 25 :
#*Si l'on veut <math>f</math> non continue et non bornée, il suffit de la définir sur le cercle unité de <math>\R^2</math> par <math>\forall\theta\in[0,2\pi[~f(\mathrm e^{\mathrm i\theta})=\frac1{2\pi-\theta}</math> (et de prendre <math>f_n</math> qui coïncide avec <math>f</math> sur <math>[0,2\pi-1/n]</math> puis affine jusqu'à <math>2\pi</math>).
#*Si l'on veut <math>f</math> continue mais non bornée, il faut <math>E</math> de dimension infinie. On peut partir d'une application linéaire continue de norme <math>1</math> non atteinte, par exemple <math>T:\ell^1(\N^*)\to\R,x\mapsto\sum(1-1/n)x_n</math> : <math>|\!|\!|T|\!|\!|=1</math> non atteint, car si <math>\|x\|_1=1</math> et <math>x_n\ne0</math> alors <math>|T(x)|\le\sum_{k\ne n}|x_k|+(1-1/n)|x_n|<1</math>. Puis on compose par un homéomorphisme entre <math>]-1,1[</math> et <math>\R</math>, pour préserver la continuité mais obtenir une application <math>f</math> non bornée. On l'approche facilement par des fonctions continues bornées en la composant par l'application qui remplace <math>x</math> par <math>nx/|x|</math> lorsque <math>|x|>n</math>.
}}
==Exercice 5-3==
Soit <math>C(\R/2\pi\Z)</math> l'espace des applications continues <math>2\pi</math>-périodiques de <math>\R</math> dans <math>\R</math>, muni de la norme sup. On rappelle que pour toute fonction <math>f\in{\rm L}^1(\R/2\pi\Z)</math>, la <math>n</math>-ième somme partielle <math>S_n(f)</math> de la [[série de Fourier]] est la {{w|Produit de convolution|convolée}} par le {{w|noyau de Dirichlet}} :
:<math>S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)~{\rm d}t\quad{\rm avec}\quad D_n(t)=\frac{\sin\left((2n+1)\frac t2\right)}{\sin\frac t2}</math>.
Pour <math>x</math> fixé, on note <math>L_n</math> la norme de la forme linéaire <math>C(\R/2\pi\Z)\to\R,f\mapsto S_n(f)(x)</math>. Montrer que :
#<math>L_n=\|D_n\|_1</math> ;
#<math>L_n\to+\infty</math> ;
#il existe dans <math>C(\R/2\pi\Z)</math> une fonction dont la série de Fourier au point <math>x</math> diverge ;
#Dans <math>C(\R/2\pi\Z)</math>, l'ensemble des fonctions dont la série de Fourier en <math>x</math> diverge est même dense.
{{Solution|contenu=
#<math>L_n\le\|D_n\|_1</math> car <math>|S_n(f)(x)|\le\|f\|_\infty\|D_n\|_1</math>. Pour avoir <math>\|f\|_\infty=1</math> et <math>S_n(f)(x)=\|D_n\|_1</math>, il faudrait que <math>f(t)=\pm1</math> avec même signe que <math>D_n(x-t)</math>. Cela n'est pas possible avec <math>f</math> continue, mais on peut faire en sorte que ce le soit en dehors d'intervalles suffisamment petits autour des <math>n</math> points <math>t</math> où <math>D_n(x-t)</math> change de signe (et interpoler affinement sur ces intervalles), pour rendre <math>S_n(f)(x)</math> aussi proche qu'on veut de <math>\|D_n\|_1</math>.
#<math>L_n=\frac1\pi\int_0^\pi\frac{|\sin((2n+1)t/2)|}{\sin(t/2)}~{\rm d}t>\frac2{\pi}\int_0^\pi|\sin((2n+1)t/2)|\frac{{\rm d}t}t=\frac2{\pi}\int_0^{(2n+1)\pi/2}|\sin s|\frac{{\rm d}s}s\to\infty</math> (voir par exemple [[Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale#Exercice 1]]).
#D'après le principe de la borne uniforme, si la suite <math>S_n</math> (de formes linéaires continues sur un Banach) convergeait simplement, on aurait <math>\sup_nL_n<\infty</math>. Ce n'est pas le cas, donc il existe un <math>f</math> pour lequel la série de Fourier en <math>x</math> diverge.
#Le théorème de Banach-Steinhaus dit plus précisément que, puisque <math>\sup_nL_n=\infty</math>, il existe un ensemble comaigre (ou « résiduel » : c’est-à-dire contenant une intersection dénombrable d'ouverts denses ; une telle partie est dense d'après le théorème de Baire) de fonctions <math>f</math> telles que <math>\sup_n|S_n(f)(x)|=+\infty</math>. Pour ces fonctions, la série de Fourier en <math>x</math> diverge.
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