« Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé » : différence entre les versions
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1er exo (à suivre) |
→Exercice 6-1 : +sol |
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Ligne 20 :
#elle n'est pas surjective.
{{Solution|contenu=
#<math>h_n\in{\rm L}^2</math> donc <math>\widehat{h_n}\in{\rm L}^2</math> donc <math>f_n\in{\rm L}^1</math>.
#[[w:Produit de convolution#Produit de convolution et transformée de Fourier]] : <math>h_1\in{\rm L}^1</math> et <math>h_n\in{\rm L}^2</math> donc (dans <math>{\rm L}^2</math>) <math>\widehat{h_1*h_n}=f_n</math> (paire) donc (dans <math>{\rm L}^2</math>) <math>\widehat{f_n}=h_1*h_n</math>.<br>Ou directement (par [[w:Espace Lp#Densité et séparabilité|densité de <math>{\rm L}^1\cap{\rm L}^2</math> dans <math>{\rm L}^2</math>]]) : <math>h_1,h_n\in{\rm L}^2</math> donc (dans <math>{\rm L}^\infty</math>) <math>\widehat{f_n}(x)=h_1*h_n(-x)</math> (paire).<br><math>\|\widehat{f_n}\|_\infty=\|h_1*h_n\|_\infty=2</math>.
#<math>\widehat{h_n}(x)=\int_{-n}^n{\rm e}^{-{\rm i}x\xi}~{\rm d}\xi=\frac{{\rm e}^{-{\rm i}xn}-{\rm e}^{{\rm i}xn}}{-{\rm i}x}=\frac{2\sin(xn)}x</math> donc <math>\|f_n\|_1=4\int_{\R}\frac{|\sin(xn)\sin(x)|}{x^2}~{\rm d}x=4\int_{\R}\frac{|\sin(y)\sin(y/n)|}{y^2/n}~{\rm d}y</math>. D'après le lemme de Fatou, <math>\liminf\int_{\R}\frac{|\sin(y)\sin(y/n)|}{y^2/n}~{\rm d}y\ge\int_{\R}\liminf\frac{|\sin(y)\sin(y/n)|}{y^2/n}~{\rm d}y=\int_{\R}\frac{|\sin(y)|}{|y|}~{\rm d}y=+\infty</math>.
#Pour <math>g\in{\rm L}^1</math> telle que <math>\widehat g\in{\rm L}^1</math>, <math>g(-x)=\widehat{\widehat g}(x)</math>. En particulier si <math>\widehat g=0</math>, <math>g=0</math>.
#Si Fourier était bijective, la bijection réciproque serait continue (théorème de l'isomorphisme de Banach) donc il existerait une constante <math>C</math> telle que <math>\forall f\in{\rm L}^1~\|f\|_1\le C\|\widehat f\|_\infty</math>, ce qui est exclu par les questions 2 et 3.
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