« Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé » : différence entre les versions
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Ligne 18 :
#la suite <math>(f_n)</math> n'est pas bornée dans <math>{\rm L}^1(\R)</math> (par changement de variable + {{w|lemme de Fatou}}) ;
#la transformation de Fourier, de <math>{\rm L}^1(\R)</math> dans <math>C_0(\R)</math>, est injective ;
#elle n'est pas surjective
#de même, l'injection <math>{\rm L}^1(\R/2\pi\Z)\to c_0(\Z),f\mapsto\left(\widehat f(n)\right)_{n\in\Z}</math> n'est pas surjective.
{{Solution|contenu=
#<math>h_n\in{\rm L}^2</math> donc <math>\widehat{h_n}\in{\rm L}^2</math> donc <math>f_n\in{\rm L}^1</math>.
Ligne 25 ⟶ 26 :
#Pour <math>g\in{\rm L}^1</math> telle que <math>\widehat g\in{\rm L}^1</math>, <math>g(-x)=\widehat{\widehat g}(x)</math>. En particulier si <math>\widehat g=0</math>, <math>g=0</math>.
#Si Fourier était bijective, la bijection réciproque serait continue (théorème de l'isomorphisme de Banach) donc il existerait une constante <math>C</math> telle que <math>\forall f\in{\rm L}^1~\|f\|_1\le C\|\widehat f\|_\infty</math>, ce qui est exclu par les questions 2 et 3.
#Si tel était le cas, il existerait (d'après le théorème de l'isomorphisme de Banach) une constante <math>C</math> telle que, pour toute fonction <math>f\in{\rm L}^1(\R/2\pi\Z)</math>, <math>\Vert f\Vert_1\le C\sup_{n\in\Z}~\vert \widehat{f}(n)\vert</math>.<br>En appliquant une telle inégalité à la suite des noyaux de Dirichlet <math>D_k(x)=\sum_{j=-k}^k\mathrm e^{{\rm i}jx}</math>, on arrive à une contradiction. En effet, <math>\|D_k\|_1\to+\infty</math> (cf. [[../Théorème de Banach-Steinhaus#Exercice 5-3|ex. 5-3]]) alors que les <math>|\widehat{D_k}(n)|</math> sont bornés par <math>1</math> : <math>\widehat{D_k}(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_k(t){\rm e}^{-{\rm i}nt}\,\mathrm{d}t=1</math> si <math>|n|\le k</math> et 0 sinon.
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