« Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé » : différence entre les versions
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#Prendre <math>E</math> de dimension dénombrable. Par exemple, pour <math>x</math> suite indexée par <math>\N^*</math> et à support fini, <math>N_Y(x)=\sum|x_n|</math> et <math>N_X(x)=\sum n|x_n|</math> (ou les mêmes normes que dans la question suivante).
#<math>\|~\|_p</math> est décroissante. Par ex. <math>\|~\|_{\infty}\le\|~\|_1</math>. <math>E=\ell^1</math>, <math>N_X=\|~\|_1</math>, <math>N_Y=\|~\|_{\infty}</math>.
#Choisir pour <math>Y</math> un Banach de dim infinie et [[w:Forme linéaire#Formes linéaires continues|sur lui, une forme linéaire <math>f</math> non continue]]. Prendre pour <math>X</math> le même espace mais muni de la norme <math>\|x\|+|f(x)|</math>. Elle n'est pas équivalente, sinon <math>f</math> serait continue.
}}
==Exercice 6-3==
Dans un espace vectoriel normé ''E'', deux [[Espace vectoriel/Définitions#Sous-espaces vectoriels supplémentaires|sous-espaces vectoriels supplémentaires (algébriques)]] ''M'' et ''N'' sont dits [[w:Sous-espace supplémentaire#Supplémentaire topologique|supplémentaires topologiques]] s'ils sont fermés et si l'une des [[Application linéaire/Projecteurs, symétries|deux projections]] (de ''E'' sur ''M'' et ''N'') est continue (donc les deux, puisque leur somme id{{ind|''E''}} l'est). Montrer que :
#dans un espace de Banach, deux supplémentaires algébriques fermés sont toujours supplémentaires topologiques ;
#dans un {{w|espace de Hilbert}}, tout sous-espace fermé possède un supplémentaire topologique ;
#une surjection linéaire continue <math>T:E\to F</math> entre deux espaces de Banach possède une section linéaire continue (<math>S:F\to E</math> telle que <math>T\circ S={\rm id}</math>) si et seulement si <math>\ker T</math> possède un supplémentaire topologique ;
#dans tout e.v.n., les sous-espaces de dimension finie et les sous-espaces ''fermés'' de {{w|codimension}} finie possèdent des supplémentaires topologiques.
{{Solution|contenu=
#Appliquer le [[w:Théorème de Banach-Schauder#Théorème de l'isomorphisme de Banach|théorème de l'isomorphisme de Banach]] à <math>+:M\times N\to E</math>. Voir aussi l'exercice 12 de {{Lien web|url=https://www.math.univ-toulouse.fr/~fboyer/_media/enseignements/m1af/td4.pdf|auteur=Franck Boyer|titre=Analyse Fonctionnelle, TD 4 : Grands théorèmes de l'analyse fonctionnelle}}.
#Son [[w:Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert|supplémentaire orthogonal]].
#Si <math>\ker T</math> a un supplémentaire topologique <math>N</math>, on prend pour <math>S</math> la bijection réciproque de <math>T:N\to F</math>. Réciproquement s'il existe <math>S</math>, on prend pour <math>N</math> le noyau du projecteur <math>{\rm id}_E-S\circ T</math>.
#
#*Si ''M'' est de dimension finie, de base (''e''{{ind|1}}, … , ''e{{ind|n}}''), soit (''e''{{ind|1}}*, … , ''e{{ind|n}}''*) la [[Dualité/Propriétés|base duale]] de [[Dualité/Définitions|''M''*]]. [[w:Théorème de Hahn-Banach#Un exemple d'application en analyse fonctionnelle|D'après le théorème de Hahn-Banach]], il existe des [[w:Forme linéaire#Formes linéaires continues|formes linéaires continues]] sur ''E'', ''f''{{ind|1}}, … , ''f{{ind|n}}'', prolongeant les ''e{{ind|i}}''*. En posant {{nobr|1=''p''(''x'') = ∑''f{{ind|i}}''(''x'')''e{{ind|i}}'',}} on obtient un projecteur continu d'image ''M''.
#*Si ''M'' est fermé et de codimension finie, soit ''N'' un supplémentaire algébrique. Alors, l'isomorphisme naturel de [[w:Espace vectoriel normé#Espace quotient|''E''/''M'']] dans ''N'' [[Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Équivalence des normes et conséquences|est continu]] donc par composition, la projection sur ''N'' de noyau ''M'' l'est aussi.
Remarque : dans <math>\ell^\infty=(\ell^1)'</math>, le sous-espace <math>c_0</math> des suites de limite nulle est fermé mais n'a pas de supplémentaire topologique. Idem pour le sous-espace de <math>C(T)</math> des fonctions prolongeables en [[Fonctions d'une variable complexe/Fonctions holomorphes|fonctions holomorphes]] sur le disque ouvert.
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