« Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Exercice 6-2 : +1 |
→Exercice 6-3 : +1 |
||
Ligne 55 :
#*Si ''M'' est fermé et de codimension finie, soit ''N'' un supplémentaire algébrique. Alors, l'isomorphisme naturel de [[w:Espace vectoriel normé#Espace quotient|''E''/''M'']] dans ''N'' [[Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Équivalence des normes et conséquences|est continu]] donc par composition, la projection sur ''N'' de noyau ''M'' l'est aussi.
Remarque : dans
}}
==Exercice 6-4==
Soient <math>T:H\to H'</math> et <math>S:H'\to H</math> deux applications entre [[w:Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]], telles que
:<math>\forall x\in H\quad\forall y\in H'\quad\langle T(x),y\rangle=\langle x,S(y)\rangle</math>.
Montrer que <math>T</math> et <math>S</math> sont linéaires et continues.
{{Solution|contenu={{Wikipédia|Opérateur adjoint}}
Montrons-le par exemple pour ''S''.
* La linéarité est une conséquence directe des propriétés de bilinéarité et de non-dégénérescence du produit scalaire. On utilise que :
*::<math>\forall x\in H\quad\forall y_1,y_2\in H'\quad\forall\lambda\in K\quad\langle x,S(y_1+\lambda y_2)\rangle=\langle T(x),y_1+\lambda y_2\rangle=\langle T(x),y_1\rangle+\bar\lambda \langle T(x),y_2\rangle=\langle x,S(y_1)\rangle+\langle x,\lambda S(y_2)\rangle</math>.
*:On en déduit :
*::<math>\langle x,S(y_1+\lambda y_2)-S(y_1)-\lambda S(y_2)\rangle=0</math>.
*:Cette égalité est vraie pour toutes les valeurs de ''x'', ce qui montre que le terme de droite du produit scalaire est nul. Cette nullité démontre le caractère linéaire de ''S''.
*Pour montrer la continuité de ''S'', il suffit, grâce au théorème du graphe fermé, de vérifier que si ''y<sub>n</sub>'' tend vers ''y'' et si ''S''(''y<sub>n</sub>'') tend vers ''z'' alors ''S''(''y'') = ''z''.<br>Or ces deux hypothèses impliquent (en utilisant l'équation « d'adjonction » de l'énoncé) que pour tout ''x'', ⟨''x'',''S''(''y<sub>n</sub>'')⟩ tend à la fois vers ⟨''x'',''S''(''y'')⟩ et vers ⟨''x'',''z''⟩ , donc que ''S''(''y'') – ''z'' est nul (car orthogonal à tout ''x'').
}}
| |||