« Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé » : différence entre les versions

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*:Cette égalité est vraie pour toutes les valeurs de ''x'', ce qui montre que le terme de droite du produit scalaire est nul. Cette nullité démontre le caractère linéaire de ''S''.
*Pour montrer la continuité de ''S'', il suffit, grâce au théorème du graphe fermé, de vérifier que si ''y<sub>n</sub>'' tend vers ''y'' et si ''S''(''y<sub>n</sub>'') tend vers ''z'' alors ''S''(''y'') = ''z''.<br>Or ces deux hypothèses impliquent (en utilisant l'équation « d'adjonction » de l'énoncé) que pour tout ''x'', ⟨''x'',''S''(''y<sub>n</sub>'')⟩ tend à la fois vers ⟨''x'',''S''(''y'')⟩ et vers ⟨''x'',''z''⟩ , donc que ''S''(''y'') – ''z'' est nul (car orthogonal à tout ''x'').
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==Exercice 6-5==
Soient <math>X,Y,Z</math> trois espaces de Banach, <math>F</math> un ensemble d'applications linéaires continues de <math>X</math> dans <math>Y</math> « total » ([[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] séparant les points de <math>X</math>) et <math>T</math> une application linéaire de <math>Z</math> dans <math>X</math>. Montrer que si <math>\forall f\in F\quad f\circ T</math> est continue, alors <math>T</math> est continue.
{{Solution|contenu=
Son graphe est fermé.
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