« Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé » : différence entre les versions

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{{==Exercice 6-5==
Soient <math>X,Y,Z</math> trois espaces de Banach, <math>F</math> un ensemble d'applications linéaires continues de <math>X</math> dans <math>Y</math> « total » ([[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] séparant les points de <math>X</math>) et <math>T</math> une application linéaire de <math>Z</math> dans <math>X</math>. Montrer que si <math>\forall f\in F\quad f\circ T</math> est continue, alors <math>T</math> est continue.
| idfaculté = mathématiques
| numéro = 6
| précédent = [[../Théorème de Banach-Steinhaus/]]
| suivant = [[../../|Sommaire]]
| niveau = 16
}}
{{Wikipédia|Théorème de Banach-Schauder}}
{{Wikipédia|Théorème du graphe fermé }}
==Exercice 6-1==
Soient
*<math>h_n=\chi_{[-n,n]}</math> (l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|indicatrice]] de <math>[-n,n]</math>),
*<math>\widehat{h_n}(x)=\int_{\R}h_n(\xi){\rm e}^{-{\rm i}x\xi}~{\rm d}\xi</math> (sa {{w|Transformation de Fourier|transformée de Fourier}}) et
*<math>f_n=\widehat{h_1}\times\widehat{h_n}</math>.
Montrer que :
#<math>f_n</math> est intégrable ;
#la suite <math>(\widehat{f_n})</math> est bornée dans <math>C_0(\R)</math> (muni de la norme sup) ;
#la suite <math>(f_n)</math> n'est pas bornée dans <math>{\rm L}^1(\R)</math> (par changement de variable + {{w|lemme de Fatou}}) ;
#la transformation de Fourier, de <math>{\rm L}^1(\R)</math> dans <math>C_0(\R)</math>, est injective ;
#elle n'est pas surjective ;
#de même, l'injection <math>{\rm L}^1(\R/2\pi\Z)\to c_0(\Z),f\mapsto\left(\widehat f(n)\right)_{n\in\Z}</math> n'est pas surjective.
{{Solution|contenu=
Son graphe est fermé.
#<math>h_n\in{\rm L}^2</math> donc <math>\widehat{h_n}\in{\rm L}^2</math> donc <math>f_n\in{\rm L}^1</math>.
#[[w:Produit de convolution#Produit de convolution et transformée de Fourier]] : <math>h_1\in{\rm L}^1</math> et <math>h_n\in{\rm L}^2</math> donc (dans <math>{\rm L}^2</math>) <math>\widehat{h_1*h_n}=f_n</math> (paire) donc (dans <math>{\rm L}^2</math>) <math>\widehat{f_n}=h_1*h_n</math>.<br>Ou directement (par [[w:Espace Lp#Densité et séparabilité|densité de <math>{\rm L}^1\cap{\rm L}^2</math> dans <math>{\rm L}^2</math>]]) : <math>h_1,h_n\in{\rm L}^2</math> donc (dans <math>{\rm L}^\infty</math>) <math>\widehat{f_n}(x)=h_1*h_n(-x)</math> (paire).<br><math>\|\widehat{f_n}\|_\infty=\|h_1*h_n\|_\infty=2</math>.
#<math>\widehat{h_n}(x)=\int_{-n}^n{\rm e}^{-{\rm i}x\xi}~{\rm d}\xi=\frac{{\rm e}^{-{\rm i}xn}-{\rm e}^{{\rm i}xn}}{-{\rm i}x}=\frac{2\sin(xn)}x</math> donc <math>\|f_n\|_1=4\int_{\R}\frac{|\sin(xn)\sin(x)|}{x^2}~{\rm d}x=4\int_{\R}\frac{|\sin(y)\sin(y/n)|}{y^2/n}~{\rm d}y</math>. D'après le lemme de Fatou, <math>\liminf\int_{\R}\frac{|\sin(y)\sin(y/n)|}{y^2/n}~{\rm d}y\ge\int_{\R}\liminf\frac{|\sin(y)\sin(y/n)|}{y^2/n}~{\rm d}y=\int_{\R}\frac{|\sin(y)|}{|y|}~{\rm d}y=+\infty</math>.
#Pour <math>g\in{\rm L}^1</math> telle que <math>\widehat g\in{\rm L}^1</math>, <math>g(-x)=\widehat{\widehat g}(x)</math>. En particulier si <math>\widehat g=0</math>, <math>g=0</math>.
#Si Fourier était bijective, la bijection réciproque serait continue (théorème de l'isomorphisme de Banach) donc il existerait une constante <math>C</math> telle que <math>\forall f\in{\rm L}^1~\|f\|_1\le C\|\widehat f\|_\infty</math>, ce qui est exclu par les questions 2 et 3.
#Si tel était le cas, il existerait (d'après le théorème de l'isomorphisme de Banach) une constante <math>C</math> telle que, pour toute fonction <math>f\in{\rm L}^1(\R/2\pi\Z)</math>, <math>\Vert f\Vert_1\le C\sup_{n\in\Z}~\vert \widehat{f}(n)\vert</math>.<br>En appliquant une telle inégalité à la suite des noyaux de Dirichlet <math>D_k(x)=\sum_{j=-k}^k\mathrm e^{{\rm i}jx}</math>, on arrive à une contradiction. En effet, <math>\|D_k\|_1\to+\infty</math> (cf. [[../Théorème de Banach-Steinhaus#Exercice 5-3|ex. 5-3]]) alors que les <math>|\widehat{D_k}(n)|</math> sont bornés par <math>1</math> : <math>\widehat{D_k}(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_k(t){\rm e}^{-{\rm i}nt}\,\mathrm{d}t=1</math> si <math>|n|\le k</math> et 0 sinon.
}}
 
==Exercice 6-26==
Soit <math>F</math> un sous-espace vectoriel fermé de <math>{\rm L}^2([0,1])</math>, constitué de fonctions continues. Montrer que :
Existe-t-il des exemples de bijections linéaires continues <math>T:X\to Y</math> entre deux e.v.n. avec <math>T^{-1}</math> non continue et :
:#<math>\forallexists xA\in H\R\quad\forall yf\in H'F\quad\langle T(x),y|f\rangle=|_\langleinfty\le x,S(y)A\|f\rangle|_2</math>. ;
#<math>X</math> et <math>Y</math> non complets ?
#<math>\forall x\in[0,1]\quad\exists!g_x\in F\quad\forall f\in F\quad f(x)=\langle f,g_x\rangle</math> ;
#<math>X</math> complet et <math>Y</math> non complet ?
#<math>Y</math>\forall complet etx\in[0,1]\quad\|g_x\|_2\le <math>XA</math> non complet ?;
#<math>F</math> est de dimension finie, inférieure ou égale à <math>A^2</math>.
{{Solution|contenu=
#D'abord, <math>F</math> est fermé dans <math>C([0,1])</math> car <math>\|~\|_2\le\|~\|_\infty</math>. L'existence de <math>A</math> résulte alors du théorème d'isomorphisme de Banach.
Il s'agit de trouver, sur un même e.v. <math>E</math>, deux normes comparables (<math>N_Y\le CN_X</math>) mais non équivalentes.
#<math>\exists!g_x</math> par le [[w:héorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)|théorème de représentation de Riesz]], car <math>ev_x:f\mapsto f(x)</math> est continue sur <math>(F,\|~\|_2)</math>.
#Prendre <math>E</math> de dimension dénombrable. Par exemple, pour <math>x</math> suite indexée par <math>\N^*</math> et à support fini, <math>N_Y(x)=\sum|x_n|</math> et <math>N_X(x)=\sum n|x_n|</math> (ou les mêmes normes que dans la question suivante).
#<math>\|g_x\|_2^2=\|ev_x\|_{F'}^2\le A^2</math>.
#<math>\|~\|_p</math> est décroissante. Par ex. <math>\|~\|_{\infty}\le\|~\|_1</math>. <math>E=\ell^1</math>, <math>N_X=\|~\|_1</math>, <math>N_Y=\|~\|_{\infty}</math>.
#Soit <math>f_1,\ldots,f_n\in F</math> orthonormé. <math>\forall x\in[0,1]\quad\sum|f_i(x)|^2=\sum|\langle f_i,g_x\rangle|^2\le\|g_x\|_2^2\le A^2</math> donc en intégrant sur <math>[0,1]</math>, <math>n\le A^2</math>.
#Choisir pour <math>Y</math> un Banach de dim infinie et [[w:Forme linéaire#Formes linéaires continues|sur lui, une forme linéaire <math>f</math> non continue]]. Prendre pour <math>X</math> le même espace mais muni de la norme <math>\|x\|+|f(x)|</math>. Elle n'est pas équivalente, sinon <math>f</math> serait continue.
}}
 
==Exercice 6-3==
Dans un espace vectoriel normé ''E'', deux [[Espace vectoriel/Définitions#Sous-espaces vectoriels supplémentaires|sous-espaces vectoriels supplémentaires (algébriques)]] ''M'' et ''N'' sont dits [[w:Sous-espace supplémentaire#Supplémentaire topologique|supplémentaires topologiques]] s'ils sont fermés et si l'une des [[Application linéaire/Projecteurs, symétries|deux projections]] (de ''E'' sur ''M'' et ''N'') est continue (donc les deux, puisque leur somme id{{ind|''E''}} l'est). Montrer que :
#dans un espace de Banach, deux supplémentaires algébriques fermés sont toujours supplémentaires topologiques ;
#dans un {{w|espace de Hilbert}}, tout sous-espace fermé possède un supplémentaire topologique ;
#une surjection linéaire continue <math>T:E\to F</math> entre deux espaces de Banach possède une section linéaire continue (<math>S:F\to E</math> telle que <math>T\circ S={\rm id}</math>) si et seulement si <math>\ker T</math> possède un supplémentaire topologique ;
#dans tout e.v.n., les sous-espaces de dimension finie et les sous-espaces ''fermés'' de {{w|codimension}} finie possèdent des supplémentaires topologiques.
{{Solution|contenu=
#Appliquer le [[w:Théorème de Banach-Schauder#Théorème de l'isomorphisme de Banach|théorème de l'isomorphisme de Banach]] à <math>+:M\times N\to E</math>. Voir aussi l'exercice 12 de {{Lien web|url=https://www.math.univ-toulouse.fr/~fboyer/_media/enseignements/m1af/td4.pdf|auteur=Franck Boyer|titre=Analyse Fonctionnelle, TD 4 : Grands théorèmes de l'analyse fonctionnelle}}.
#Son [[w:Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert|supplémentaire orthogonal]].
#Si <math>\ker T</math> a un supplémentaire topologique <math>N</math>, on prend pour <math>S</math> la bijection réciproque de <math>T:N\to F</math>. Réciproquement s'il existe <math>S</math>, on prend pour <math>N</math> le noyau du projecteur <math>{\rm id}_E-S\circ T</math>.
#
#*Si ''M'' est de dimension finie, de base (''e''{{ind|1}}, … , ''e{{ind|n}}''), soit (''e''{{ind|1}}*, … , ''e{{ind|n}}''*) la [[Dualité/Propriétés|base duale]] de [[Dualité/Définitions|''M''*]]. [[w:Théorème de Hahn-Banach#Un exemple d'application en analyse fonctionnelle|D'après le théorème de Hahn-Banach]], il existe des [[w:Forme linéaire#Formes linéaires continues|formes linéaires continues]] sur ''E'', ''f''{{ind|1}}, … , ''f{{ind|n}}'', prolongeant les ''e{{ind|i}}''*. En posant {{nobr|1=''p''(''x'') = ∑''f{{ind|i}}''(''x'')''e{{ind|i}}'',}} on obtient un projecteur continu d'image ''M''.
#*Si ''M'' est fermé et de codimension finie, soit ''N'' un supplémentaire algébrique. Alors, l'isomorphisme naturel de [[w:Espace vectoriel normé#Espace quotient|''E''/''M'']] dans ''N'' [[Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Équivalence des normes et conséquences|est continu]] donc par composition, la projection sur ''N'' de noyau ''M'' l'est aussi.
 
Remarque : dans [[w:Espace Lp#Dualité|ℓ{{exp|∞}} = (ℓ{{exp|1}}){{'}}]], le sous-espace <math>c_0</math> des suites de limite nulle est fermé mais n'a pas de supplémentaire topologique. Idem pour le sous-espace de <math>C(T)</math> des fonctions prolongeables en [[Fonctions d'une variable complexe/Fonctions holomorphes|fonctions holomorphes]] sur le disque ouvert.
}}
 
==Exercice 6-4==
Soient <math>T:H\to H'</math> et <math>S:H'\to H</math> deux applications entre [[w:Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]], telles que
:<math>\forall x\in H\quad\forall y\in H'\quad\langle T(x),y\rangle=\langle x,S(y)\rangle</math>.
Montrer que <math>T</math> et <math>S</math> sont linéaires et continues.
{{Solution|contenu={{Wikipédia|Opérateur adjoint}}
Montrons-le par exemple pour ''S''.
* La linéarité est une conséquence directe des propriétés de bilinéarité et de non-dégénérescence du produit scalaire. On utilise que :
*::<math>\forall x\in H\quad\forall y_1,y_2\in H'\quad\forall\lambda\in K\quad\langle x,S(y_1+\lambda y_2)\rangle=\langle T(x),y_1+\lambda y_2\rangle=\langle T(x),y_1\rangle+\bar\lambda \langle T(x),y_2\rangle=\langle x,S(y_1)\rangle+\langle x,\lambda S(y_2)\rangle</math>.
*:On en déduit :
*::<math>\langle x,S(y_1+\lambda y_2)-S(y_1)-\lambda S(y_2)\rangle=0</math>.
*:Cette égalité est vraie pour toutes les valeurs de ''x'', ce qui montre que le terme de droite du produit scalaire est nul. Cette nullité démontre le caractère linéaire de ''S''.
*Pour montrer la continuité de ''S'', il suffit, grâce au théorème du graphe fermé, de vérifier que si ''y<sub>n</sub>'' tend vers ''y'' et si ''S''(''y<sub>n</sub>'') tend vers ''z'' alors ''S''(''y'') = ''z''.<br>Or ces deux hypothèses impliquent (en utilisant l'équation « d'adjonction » de l'énoncé) que pour tout ''x'', ⟨''x'',''S''(''y<sub>n</sub>'')⟩ tend à la fois vers ⟨''x'',''S''(''y'')⟩ et vers ⟨''x'',''z''⟩ , donc que ''S''(''y'') – ''z'' est nul (car orthogonal à tout ''x'').
}}
 
==Exercice 6-5==
Soient <math>X,Y,Z</math> trois espaces de Banach, <math>F</math> un ensemble d'applications linéaires continues de <math>X</math> dans <math>Y</math> « total » ([[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] séparant les points de <math>X</math>) et <math>T</math> une application linéaire de <math>Z</math> dans <math>X</math>. Montrer que si <math>\forall f\in F\quad f\circ T</math> est continue, alors <math>T</math> est continue.
{{Solution|contenu=
Son graphe est fermé.
}}