« Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé » : différence entre les versions
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Soient <math>X,Y,Z</math> trois espaces de Banach, <math>F</math> un ensemble d'applications linéaires continues de <math>X</math> dans <math>Y</math> « total » ([[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] séparant les points de <math>X</math>) et <math>T</math> une application linéaire de <math>Z</math> dans <math>X</math>. Montrer que si <math>\forall f\in F\quad f\circ T</math> est continue, alors <math>T</math> est continue.▼
{{Solution|contenu=
Son graphe est fermé.▼
}}
==Exercice 6-
Soit <math>F</math> un sous-espace vectoriel fermé de <math>{\rm L}^2([0,1])</math>, constitué de fonctions continues. Montrer que :
#<math>\forall x\in[0,1]\quad\exists!g_x\in F\quad\forall f\in F\quad f(x)=\langle f,g_x\rangle</math> ;
#<math>
#<math>F</math> est de dimension finie, inférieure ou égale à <math>A^2</math>.
{{Solution|contenu=
#D'abord, <math>F</math> est fermé dans <math>C([0,1])</math> car <math>\|~\|_2\le\|~\|_\infty</math>. L'existence de <math>A</math> résulte alors du théorème d'isomorphisme de Banach.
#<math>\exists!g_x</math> par le [[w:héorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)|théorème de représentation de Riesz]], car <math>ev_x:f\mapsto f(x)</math> est continue sur <math>(F,\|~\|_2)</math>.
#<math>\|g_x\|_2^2=\|ev_x\|_{F'}^2\le A^2</math>.
#Soit <math>f_1,\ldots,f_n\in F</math> orthonormé. <math>\forall x\in[0,1]\quad\sum|f_i(x)|^2=\sum|\langle f_i,g_x\rangle|^2\le\|g_x\|_2^2\le A^2</math> donc en intégrant sur <math>[0,1]</math>, <math>n\le A^2</math>.
▲:<math>\forall x\in H\quad\forall y\in H'\quad\langle T(x),y\rangle=\langle x,S(y)\rangle</math>.
▲Soient <math>X,Y,Z</math> trois espaces de Banach, <math>F</math> un ensemble d'applications linéaires continues de <math>X</math> dans <math>Y</math> « total » ([[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] séparant les points de <math>X</math>) et <math>T</math> une application linéaire de <math>Z</math> dans <math>X</math>. Montrer que si <math>\forall f\in F\quad f\circ T</math> est continue, alors <math>T</math> est continue.
▲Son graphe est fermé.
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