« Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé » : différence entre les versions
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#Soit <math>f_1,\ldots,f_n\in F</math> orthonormé. <math>\forall x\in[0,1]\quad\sum|f_i(x)|^2=\sum|\langle f_i,g_x\rangle|^2\le\|g_x\|_2^2\le A^2</math> donc en intégrant sur <math>[0,1]</math>, <math>n\le A^2</math>.
}}
==Exercice 6-7==
Soit <math>\mu</math> une [[Théorie de la mesure/Mesures|mesure positive]] (sur un [[Théorie de la mesure/Tribus#Tribus|espace mesurable]]) et <math>1\le p,q\le\infty</math> tels que <math>{\rm L}^p(\mu)\subset{\rm L}^q(\mu)</math>.
#Montrer que cette inclusion est continue (rappel : toute suite qui converge dans <math>{\rm L}^p(\mu)</math> possède une sous-suite qui converge <math>\mu</math>-p.p.).
#Si <math>p<q</math>, en déduire l'existence d'un <math>\varepsilon>0</math> tel que pour toute partie mesurable <math>Y</math> de mesure non nulle, <math>\mu(Y)\ge\varepsilon</math>.
#Si au contraire <math>q<p</math> et si <math>\mu</math> est {{w|Mesure sigma-finie|σ-finie}}, en déduire que <math>\mu</math> est {{w|Mesure finie|finie}}.
{{Solution|contenu=}}
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