« Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis » : différence entre les versions
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→Exercice 1-1 : Corrollaire : cardinal et dimension de divers e.v. de suites |
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{{Solution|contenu=D'après les propriétés des [[Application (mathématiques)/Exercices/Bijections canoniques|bijections canoniques]],
:<math>\left|\R\right|=\left|\{0,1\}^\N\right|\le\left|\N^\N\right|\le\left|\R^\N\right|=\left|\left(\{0,1\}^\N\right)^\N\right|=\left|\{0,1\}^{\N\times\N}\right|=\left|\{0,1\}^\N\right|=\left|\R\right|</math>.
}}
On considère les sous-espaces vectoriels suivants ([[w:Espace Lp#Inclusions|emboîtés]]) du <math>\R</math>-[[espace vectoriel]] <math>\R^\N</math> des suites réelles :
:<math>\text{si }1\le p<\infty,\quad\ell^p=\{x=(x_n)_{n\in\N}\in\R^\N\mid\sum_{n=0}^\infty|x_n|^p<+\infty\}</math>,
<math>c_0=</math> le sous-espace vectoriel des suites de limite nulle et <math>\ell^\infty=B(\N,\R)=</math> le sous-espace vectoriel des suites bornées.
#Vérifier que pour tout réel <math>t>0</math>, la suite <math>x(t)</math> définie par <math>x(t)_n={\rm e}^{-tn}</math> appartient à tous ces sous-espaces vectoriels.
#On admettra (ou démontrera, en pensant aux [[Matrice/Exercices/Déterminant#Exercice 2-4|matrices de Vandermonde]]) que la famille de suites <math>(x(t))_{t\in\R_+^*}</math> est libre. En déduire que tous les sous-espaces vectoriels mentionnés sont de dimension au moins <math>{\rm card}(\R)</math>.
#En déduire tous ces espaces de suites sont à la fois de dimension et de cardinal <math>{\rm card}(\R)</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>x(t)</math> appartient à <math>\ell^1</math> (donc à tous les autres espaces mentionnés) car <math>\sum_{n=0}^\infty{\rm e}^{-tn}=\frac1{1-{\rm e}^{-t}}<\infty</math>.
#Tous les sous-espaces vectoriels mentionnés contiennent donc la famille libre <math>(x(t))_{t\in\R_+^*}</math>. Leur dimension est donc au moins <math>{\rm card}(\R_+^*)={\rm card}(\R)</math>.
#Tous les sous-espaces vectoriels mentionnés sont de cardinal inférieur ou égal à <math>{\rm card}(\R^\N)={\rm card}(\R)</math>. On conclut grâce à la question précédente.
}}
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