« Espace préhilbertien réel/Exercices/Projection orthogonale » : différence entre les versions
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Ligne 126 :
==Exercice 4-4==
Soit l'espace de Hilbert <math>H=\ell^2(\N,\R)</math>. On note <math>C=\{(x_n)_n\in H\mid\forall n\quad x_n\ge0\}</math>.
#Montrer que <math>C</math> est un [[Espaces vectoriels normés/Connexité#Convexité|convexe]] fermé.
#Déterminer la projection sur <math>C</math>.
#Même question avec <math>H=\ell^2(\N,\C)</math>.
Ligne 133 :
#Notons <math>\pi:\R\to\R^+</math> la projection sur <math>\R^+</math> (<math>\pi(t)=t</math> si <math>t\ge0</math> et <math>\pi(t)=0</math> si <math>t\le0</math>). Le projeté sur <math>C</math> d'un <math>x\in H</math> est la suite <math>(\pi(x_n))_n</math> (qui est bien dans <math>H</math> puisque <math>|\pi(t)|\le|t|</math>).
#Idem en remplaçant <math>\pi</math> par <math>\pi':=\pi\circ{\rm Re}:\C\to\R^+</math> (remarquer d'abord que <math>C</math> est encore fermé dans <math>\ell^2(\N,\C)</math>, comme fermé du fermé <math>\ell^2(\N,\R)</math>).
}}
==Exercice 4-5==
Soit <math>H</math> un espace de Hilbert. Pour <math>C</math> un convexe fermé non vide de <math>H</math>, on note <math>p_C</math> la projection sur <math>C</math>.
#Soient <math>A,B</math> deux convexes fermés non vides de <math>H</math>, tels que <math>A\subset B</math>. Montrer, en utilisant l'{{w|identité de la médiane}} (équivalente à [[../../Produit scalaire#Propriétés|celle du parallélogramme]]), que pour tout <math>x\in H</math>,
:<math>\|p_A(x)-p_B(x)\|^2\le2\left( d(x,A)^2-d(x,B)^2\right)</math>.
#Soit <math>(C_n)_n</math> une suite croissante de convexes fermés non vides de <math>H</math>. On note <math>C</math> l'adhérence de <math>\bigcup_n C_n</math>.
##Montrer que <math>C</math> est un convexe fermé non vide.
##Montrer que pour tout <math>x\in H</math>, <math>\lim_{n\to\infty} d(x,C_n)=d(x,C)</math>.
##En déduire que pour tout <math>x\in H</math>, <math>p_{C_n}(x)</math> converge vers <math>p_C(x)</math> quand <math>n\to\infty</math>.
#Soit <math>(C_n)_n</math> une suite décroissante de convexes fermés non vides de <math>H</math>. On note <math>H</math> l'intersection des <math>C_n</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>C=\bigcap_n C_n</math>.
##On suppose que <math>C</math> est non vide. Soit <math>x\in H</math>. Montrer que la suite <math>(d(x,C_n))_n</math> converge vers une certaine limite <math>\ell\in\R_+</math> vérifiant <math>\ell\le d(x,C)</math>.
##Pour tout <math>n</math>, on note <math>y_n=p_{C_n}(x)</math>. Montrer que la suite <math>(y_n)_n</math> est de Cauchy, et en déduire que <math>p_{C_n}(x)</math> converge vers <math>p_C(x)</math>, quand <math>n\to\infty</math>.
##Montrer que si <math>C</math> est vide, alors <math>\lim_{n\to\infty} d(x,C_n)=+\infty</math>, pour tout <math>x\in H</math> (en particulier si l'un des <math>C_n</math> est borné, alors <math>C</math> n'est pas vide).
{{Solution|contenu=
#Notons <math>a=p_A(x)</math>, <math>b=p_B(x)</math>, alors <math>i:=\frac{a+b}2\in B</math> donc d'après l'identité de la médiane, <math>xa^2+xb^2=\frac12ab^2+2xi^2\ge\frac12ab^2+2xb^2</math>, donc <math>2(xa^2-xb^2)\ge ab^2</math>, c'est-à-dire <math>\|p_A(x)-p_B(x)\|^2\le2 \left(d(x,A)^2-d(x,B)^2\right)</math>.
#
##<math>C</math> est un convexe fermé non vide, comme adhérence du convexe non vide <math>\bigcup_n C_n</math>(union croissante de convexes non vides).
##La suite des <math>d(x,C_n)</math> est décroissante donc tend vers son inf, or <math>d(x,C)=\inf_{n\in\N,y\in C_n}d(x,C)=\inf_{n\in\N}d(x,C_n)</math>.
##Immédiat d'après les questions 1 (appliquée à <math>C_n</math> et <math>C</math>) et 2.2.
#
##Si <math>C\ne\varnothing</math>, la suite croissante des <math>d(x,C_n)</math> est majorée par <math>d(x,C)</math> donc tend vers un <math>\ell\in[0,d(x,C)]</math>.
##La suite <math>(y_n)_n</math> est de Cauchy d'après les questions 1 (appliquée à <math>C_p</math> et <math>C_q</math>) et 3.1. Soit <math>y\in H</math> sa limite, alors <math>y\in\bigcap_n C_n=C</math> (car pour tout <math>n</math>, <math>y_k</math> appartient au fermé <math>C_n</math> pour <math>k\ge n</math>) et <math>d(x,y)=\ell\le d(x,C)</math>, donc <math>d(x,y)=d(x,C)</math> et <math>y=p_C(x)</math>.
##Si <math>C=\varnothing</math>, <math>d(x,C_n)=d(x,p_{C_n}(x))\to+\infty</math> car dans toute boule fermée (faiblement compacte) <math>B_R</math> de centre <math>0</math> et de rayon <math>R</math>, l'intersection décroissante des <math>B_R\cap C_n</math> (faiblement fermés) est vide donc à partir d'un certain rang, <math>B_R\cap C_n=\varnothing</math> et a fortiori, <math>\|p_{C_n}(x)\|> R</math>.
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