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« Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Legendre » : différence entre les versions

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{{Wikipédia|Polynôme de Legendre}}
On travaille dans <math>E=\R[X]</math> muni du produit scalaire <math>\left( f,g \right) = \int_{-1}^{1} f(x) g(x)\,\mathrm dx</math>.
 
On travaille danspose <math>E=\R[X]forall n\in\mathbb N</math> munile dun-ième polynôme de produitLegendre scalaire: <math>\left(forall f,gx\in \rightR,~\lambda_n(x) = \int_frac{-1}{2^n n!}\frac{1\mathrm d^n}{\mathrm fdx^n}(x) g(x^2-1)^n)\mathrm dx</math>.
 
'''1.''' Vérifier que <math>\left( \cdot,\cdot \right)</math> est bien un produit scalaire sur <math>E</math>.▼
On pose <math>\forall n\in\mathbb N</math> le n-ième polynôme de Legendre : <math>\forall x\in \R,~\lambda_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}((x^2-1)^n)</math>
 
▲'''1.''' Vérifier que <math>\left( \cdot,\cdot \right)</math> est bien un produit scalaire sur E.
 
'''2.''' Calculer λ₀, λ₁, λ₂ et λ₃.
 
'''3.''' Montrer que <math>(\lambda_n)_{n\in\mathbb N}</math> est une famille orthonormale de <math>\R[X]E</math> pour le produit scalaire <math>\left( \cdot,\cdot \right)</math>.
 
'''4.'''Montrer que <math>\forall n\in\mathbb N</math>, λ<sub>n</sub> vérifie l'équation différentielle <math>(E_1)~:~\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[ (1-x^2)\frac{\mathrm d \lambda_n}{\mathrm dx}\right] + n (n+1) \lambda_n = 0</math>
 
'''54.''' Montrer que <math>\forall n\in\mathbb N</math>, λ<sub>n</sub> vérifie l'équation différentielle <math>(E_2E_1)~:~\forall nfrac{\in\mathbbmathrm N,d}{\forallmathrm xdx}\in\R,~left[ (n+1-x^2)\frac{\mathrm d \lambda_lambda_n}{n+1\mathrm dx}(x)-\right] + n (2nn+1)x \lambda_n(x)+n \lambda_{n-1}(x)= 0</math>.
 
'''5.''' Montrer que λ vérifie l'équation <math>(E_2)~:~\forall n\in\mathbb N,\forall x\in\R,~(n+1) \lambda_{n+1}(x)- (2n+1)x \lambda_n(x)+n \lambda_{n-1}(x)=0</math>.
 
{{Solution|titre=Solution des questions 1 à 3|contenu=
{{Solution
| contenu =
'''1.''' On reconnait dans <math>\left( \cdot,\cdot \right)</math> le produit scalaire usuel sur <math>L^2 \left( [-1 ; 1] \right)</math>.
 
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On démontrera la dernière égalité par récurrence.
}}
{{Solution|titre=Absence de solution des questions 4 et 5|contenu=
}}
 
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