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« Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique/Espaces hilbertiens » : différence entre les versions

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| titre = Espace préhilbertien
| contenu =
On appelle [[Espace préhilbertien réel|'''espace préhilbertien''' un espace vectoriel sur le corps des réels]] [[Espace préhilbertien complexe|ou des complexes]], muni d'un produit scalaire.
}}
 
Ce produit scalaire est, on le rappelle, une forme sesquilinéaire définie positive non dégénérée — si la sesquilinéarité est indifférente pour des espaces préhilbertiens réels, il faut pour les espaces complexes que le produit scalaire vérifie :
 
<math>\forall (a,b) \in E^2, \quad \langle a , b \rangle = \langle b, a \rangle^{*}</math>
 
où <math>\scriptstyle{\left( E,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)}</math> est un espace préhilbertien, et où l'étoile note le conjugué complexe d'une quantité.
 
{{Définition
| titre = Espace hilbertien
| contenu =
On appelle '''espace hilbertien''' un espace préhilbertien complet <math>\scriptstyle{E}</math>, c'est-à-dire [[Espaces de Banach|dans lequel les suites de Cauchy convergent pour la norme]] associée au produit scalaire dans <math>\scriptstyle{E}</math>.
}}
 
Cette notion de complétude peut être explicitée dans le cas de l’ensemble des rationnels, <math>\scriptstyle \mathbb Q</math>, qui n’est pas complet : en effet, on peut construire une suite de rationnels qui tend vers <math>\scriptstyle{\pi}</math>, lequel est irrationnel (cela est une conséquence du fait que <math>\scriptstyle \mathbb Q</math> est dense dans <math>\scriptstyle \mathbb R</math>). Ainsi, l’ensemble des rationnels n’est pas complet.
 
== Bases de Hilbert ==
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{{Définition
| titre = Base orthonorméehilbertienne
| contenu ={{Wikipédia|Base de Hilbert}}
On appelle '''base orthonorméehilbertienne''' de l'espace hilbertien <math>\scriptstyle{\left( E,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)}</math> une famille de vecteurs <math>\scriptstyle{B = \left( b_i \right)_{i\in I}}</math> telle que :
* <math>\forall (i,j) \in I^2, \quad \langle b_i, b_j \rangle = \delta_{i,j}</math>
* <math>\forall x \in E, \exists \left( \lambda_i \right)_{i\in I} \quad \sum_{i=0}^{\infty} \lambda_i \cdot b_ilambda_ib_i = x</math>
Avec <math>\scriptstyle{I}</math> un ensemble dénombrable, <math>\scriptstyle{\delta_{i,j}}</math> le delta de Kronecker. La première relation implique la liberté de <math>\scriptstyle{B}</math>, la seconde utilise la convergence au sens de la norme induite par le produit scalaire et implique que <math>\scriptstyle{B}</math> est génératrice.
 
Dans le cas où ces conditions sont vérifiées, la famille <math>\scriptstyle{\left( \lambda_i \right)_{i\in I}}</math> est unique pour tout vecteur <math>\scriptstyle{x}</math>, elle constitue les « '''coordonnées''' » de <math>\scriptstyle{x}</math>.
 
Tout espace hilbertien de dimension finie admet une telle « base ».
}}
 
Remarquons cependant qu'au sens usuel (de l'[[algèbre linéaire]]), si <math>E</math> est de dimension infinie alors [[Espace vectoriel/Familles de vecteurs|<math>B</math> n'est pas génératrice (donc n'est pas une base) de <math>E</math> et la plupart des <math>E</math> n'ont donc pas de coordonnées dans <math>B</math>]].
 
== Intérêt en mécanique quantique ==
 
Les '''espaces hilbertiens''' permettent une formulation élégante de la mécanique quantique, qui demeure à ce jour la plus utilisée. En effet, l'état d'un système physique sera décrit par un vecteur d'un espace hilbertien. Les '''observables''', qui sont, pour résumer à outrance, les quantités « mesurables », apparaissent comme des [[Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique../Opérateurs linéaires|opérateurs linéaires]]. Enfin, le processus de la mesure se fait par projections orthogonales.
 
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