« Suites et séries de fonctions/Approximation de fonctions » : différence entre les versions
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{{Théorème
| titre = Théorème de Stone-Weierstrass|contenu ={{Wikipédia|Théorème de Stone-Weierstrass}}
Toute fonction continue sur un compact <math> [a
La démonstration, longue, repose sur l’utilisation des '''polynômes de Bernstein'''.
Du point de vue de la topologie de l'espace fonctionnel <math>\mathcal C^0([a
{{Théorème
| titre = Théorème de Stone-Weierstrass (''bis'')|contenu =
L'ensemble des fonctions polynomiales sur <math>[a
== Démonstration
=== Polynômes de Bernstein
{{Définition
|titre=Polynômes de Bernstein
|contenu={{Wikipédia|Polynôme de Bernstein}}
Pour <math>n \in \N</math> et pour <math>k \in [ 0
<div style="text-align: center;"><math>b_{n,k} (x) = \binom{n}{k}x^k (1-x)^{n-k}</math>.</div>
}}
Comme la formulation des polynômes de Bernstein nous
Nous allons, avant de démontrer le théorème en lui-même, voir quelques propriétés utiles de ces polynômes :
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|titre=Égalités utiles
|contenu=
Pour tous <math>x \in\mathbb R \ , \ n \in \mathbb N \ , \ k \in [ 0
* <math>\sum_{k=0}^n b_{n,k}(x) = 1</math>
* <math>\forall p \in [ 0
* <math>\sum_{k=0}^n k^2 b_{n,k}(x) = n(n-1) x^2 + nx</math>
* <math>\sum_{k=0}^n (nx-k)^2 b_{n,k}(x) = n x (1-x)</math>
}}
{{Démonstration déroulante
|titre=Calcul des égalités
|contenu=
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* En remarquant que :
*::<math>k^2 = k(k-1) + k = \frac{k!}{(k-2)!} + \frac{k!}{(k-1)!}</math>
*:il suffit alors d’utiliser la deuxième égalité deux fois :
\sum_{k=0}^n k^2 b_{n,k}(x) &= \sum_{k=0}^n \frac{k!}{(k-2)!} b_{n,k}(x) + \sum_{k=0}^n \frac{k!}{(k-1)!} b_{n,k}(x)\\
&= n (n-1) x^2 + n x
\end{align}</math>
* Le calcul se fait par :
*::<math>\begin{align}
\sum_{k=0}^n (nx-k)^2 b_{n,k}(x) &= n^2 x^2 \sum_{k=0}^n b_{n,k}(x) -2 n x \sum_{k=0}^n k b_{n,k}(x) + \sum_{k=0}^n k^2 b_{n,k}(x) \\
&= n^2 x^2 \times 1 - 2 n x \times n x + (n (n-1) x^2 + n x) \\
&= n x (1-x).
\end{align}</math>
}}
=== Démonstration
{{Démonstration
|titre=Démonstration du théorème de Stone-Weierstrass
|contenu=
On pose, pour ''n'' entier et toute fonction ''f'' continue sur [0
<math>B_n (f)(x) = \sum_{k=0}^n f \left( \frac kn \right) b_{n,k} (x)</math>.
L'objectif est de montrer que la suite de fonctions polynomiales <math>(B_n (f))_{n \in \mathbb N}</math> converge uniformément vers ''f'' sur [0
Fixons <math>\varepsilon >0</math> et <math>x \in [0
On a : <math>\ f(x) - B_n (f) (x) = \sum_{k=0}^n \left[ f(x) - f \left( \frac kn \right) \right] b_{n,k} (x)</math>.
La fonction ''f'' étant continue sur [0
On sépare les indices en deux ensembles : on pose <math>\mathcal E_1 = \lbrace k \in 0, \ldots , n
Les deux ensembles sont disjoints, donc on a : <math>\sum_{k=0}^n \left[ f(x) - f \left( \frac kn \right) \right] b_{n,k} (x) = \sum_{k \in \mathcal E_1} \left[ f(x) - f \left( \frac kn \right) \right] b_{n,k} (x) + \sum_{k \in \mathcal E_2} \left[ f(x) - f \left( \frac kn \right) \right] b_{n,k} (x) </math>.
On peut déjà dire que <math>\left| \sum_{k \in \mathcal E_1} \left[ f(x) - f \left( \frac kn \right) \right] b_{n,k} (x) \right| < \frac {\varepsilon}{2}</math> par l'inégalité triangulaire, puis en ramenant la somme sur l'intervalle entier.
Ligne 99 ⟶ 97 :
Il s'agit maintenant de majorer la deuxième partie de la somme. Pour cela, on remarque que :
<div style="text-align: center;"><math>\forall k \in \mathcal E_1 \ b_{n,k}(x) = \frac{(nx-k)^2 b_{n,k}(x)}{(nx-k)^2} \le \frac{(nx-k)^2 b_{n,k}(x)}{n^2 \delta^2}</math>.</div>
Ainsi,
Ligne 105 ⟶ 103 :
<div style="text-align: center;"><math>\left| \sum_{k \in \mathcal E_2} \left[ f(x) - f \left( \frac kn \right) \right] b_{n,k} (x) \right| \le \sum_{k \in \mathcal E_2} \left[ \left| f(x) \right| + \left| f \left( \frac kn \right) \right| \right] \frac{(nx-k)^2 b_{n,k}(x)}{n^2 \delta^2} \le \frac{2 \| f \|_{\infty}}{n^2 \delta^2} n x (1-x)</math></div>
d'après la quatrième égalité calculée avant. La fonction<math>x \rightarrow x (1-x) </math> est majorée par 1/4 sur [0
<div style="text-align: center;"><math>\left| \sum_{k \in \mathcal E_2} \left[ f(x) - f \left( \frac kn \right) \right] b_{n,k} (x) \right| \le \frac{\| f \|_{\infty}}{2 n \delta^2}</math>.</div>
On a donc prouvé que :
Ligne 113 ⟶ 111 :
<div style="text-align: center;"><math>\left| f(x) - B_n (f) (x) \right| \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\| f \|_{\infty}}{2 n \delta^2}</math></div>
Pour tout ''x'' dans [0
<div style="text-align: center;"><math>n \ge N \Rightarrow \| f - B_n (f) \|_{\infty} \le \varepsilon</math></div>▼
▲<div style="text-align: center;"><math>n \ge N \Rightarrow \| f - B_n (f) \|_{\infty} \le \varepsilon</math>.</div>
}}
Remarquons que cette démonstration offre un intérêt supplémentaire, puisqu'elle
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