« Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Laguerre » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m màj |
+1 (corrigé plus tard) |
||
Ligne 8 :
}}
{{Wikipédia|Polynôme de Laguerre}}
==Exercice 3-1==
On travaille dans <math>E=\R[X]</math> muni du produit scalaire <math>\langle f,g\rangle=\int_0^{+\infty} f(x) g(x)\operatorname e^{-x}\,\mathrm dx</math>.
Ligne 35 ⟶ 36 :
{{Solution|titre=Absence de solution des questions 3 à 5
| contenu =
}}
==Exercice 3-2==
On considère l'espace de Hilbert <math>H=\mathrm L^2(\R_+,\mu)</math> où <math>\lambda</math> est la mesure de Lebesgue sur <math>\R_+</math> et
:<math>\mathrm d\mu(x)=\operatorname e^{-x} 1_{\R_+}\mathrm d\lambda(x)</math>.
On définit pour tout <math>n\in\N</math> et <math>x\in\R_+</math>,
:<math>L_n(x)= \frac{e^x}{n!} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n} (x^n\operatorname e^{-x})</math>.
#Montrer que <math>L_n</math> est un polynôme de degré <math>L_n</math> et donner son coefficient dominant.
#
##Calculer le produit scalaire <math>\langle X^k,L_n\rangle</math> pour tout <math>0\le k\le n</math>.
##En déduire que <math>(L_n)_{n\in\N}</math> est une famille orthonormale de <math>H</math>.
#Montrer que pour tout <math>\alpha\in \R_+</math>, <math>\sum_{n\geq0} \left( \int_{\R_+}\operatorname e^{-\alpha x} L_n(x)\operatorname e^{-x}\,\mathrm dx \right)^2=\frac1{2\alpha+1}</math>.
#En déduire que <math>f_\alpha:x\mapsto\operatorname e^{-\alpha x}</math> appartient à l'adhérence de <math>\operatorname{Vect}\left((L_n)_{n\in\N}\right)</math> dans <math>H</math>.
#Soit <math>f\in C_0(\R_+)</math> l'espace des fonctions nulles à l'infini. En appliquant le [[Suites et séries de fonctions/Approximation de fonctions|théorème de Stone-Weierstrass]] à la fonction <math>g:[0,1]\to\R</math> définie par <math>g(x)=f(-\ln x)</math> si <math>x\ne0</math> et <math>g(0)=0</math>, montrer que la suite <math>(f_n)_{n\in\N}</math> est dense dans <math>C_0(\R_+)</math> pour la norme <math>\|\cdot\|_\infty</math>.
#Montrer que <math>(L_n)_{n\geq0}</math> est une [[Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique/Espaces hilbertiens#Bases de Hilbert|base hilbertienne]] de <math>H</math>.
{{Solution|contenu =
}}
| |||