« Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Laguerre » : différence entre les versions
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==Exercice 3-2==
On considère l'espace de Hilbert <math>H=\mathrm L^2(\R_+,\mu)</math> où
:<math>\mathrm d\mu(x)=\operatorname e^{-x} 1_{\R_+}\mathrm d\lambda(x)</math>, <math>\lambda</math> On définit pour tout <math>n\in\N</math> et <math>x\in\R_+</math>,
:<math>L_n(x)= \frac{e^x}{n!} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n} (x^n\operatorname e^{-x})</math>.
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#Montrer que pour tout <math>\alpha\in \R_+</math>, <math>\sum_{n\geq0} \left( \int_{\R_+}\operatorname e^{-\alpha x} L_n(x)\operatorname e^{-x}\,\mathrm dx \right)^2=\frac1{2\alpha+1}</math>.
#En déduire que <math>f_\alpha:x\mapsto\operatorname e^{-\alpha x}</math> appartient à l'adhérence de <math>\operatorname{Vect}\left((L_n)_{n\in\N}\right)</math> dans <math>H</math>.
#Soit <math>f\in C_0(\R_+)</math> l'espace des fonctions nulles à l'infini. En appliquant le [[Suites et séries de fonctions/Approximation de fonctions|théorème de Stone-Weierstrass]] à la fonction <math>g:[0,1]\to\R</math> définie par <math>g(x)=f(-\ln x)</math> si <math>x\ne0</math> et <math>g(0)=0</math>, montrer que la suite <math>(f_n)_{n\in\N}</math> est
#Montrer que <math>(L_n)_{n\geq0}</math> est une [[Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique/Espaces hilbertiens#Bases de Hilbert|base hilbertienne]] de <math>H</math>.
{{Solution|contenu =
#Si <math>P</math> est un polynôme, <math>({\rm e}^{-x}P)'={\rm e}^{-x}Q</math> avec <math>Q=-P+P'</math>, de même degré que <math>P</math> et de coefficient dominant opposé. Donc <math>L_n</math> est un polynôme de degré <math>n</math> et de coefficient dominant <math>\frac{(-1)^n}{n!}</math>.
#
##Pour <math>0\le k\le n</math>,
##:<math>\begin{align}\langle X^k,L_n\rangle&=\int_0^{+\infty}x^k\frac{{\rm e}^x}{n!}\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n} (x^n{\rm e}^{-x}){\rm e}^{-x}{\rm d}x\\
&=\frac1{n!}\int_0^{+\infty}x^k\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n} (x^n{\rm e}^{-x}){\rm d}x\\
&=\frac{(-1)^kk!}{n!}\int_0^{+\infty}\frac{{\rm d}^{n-k}}{{\rm d}x^{n-k}} (x^n{\rm e}^{-x}){\rm d}x\text{ (par }k\text{ intégrations par parties)}\\
&=\begin{cases}\text{si }k<n~:&0\\
\text{si }k=n~:&(-1)^n\int_0^{+\infty}x^n{\rm e}^{-x}{\rm d}x=(-1)^nn!\text{ (par }n\text{ intégrations par parties).}
\end{cases}\end{align}</math>
##D'après les deux questions précédentes, chaque <math>L_n</math> est orthogonal aux précédents et <math>\langle L_n,L_n\rangle=\frac{(-1)^n}{n!}\langle X^n,L_n\rangle=1</math>.
#Soit <math>\alpha\ge0</math>.
#::<math>\int_0^{+\infty}{\rm e}^{-\alpha x}L_n(x){\rm e}^{-x}{\rm d}x=\frac1{n!}\int_0^{+\infty}{\rm e}^{-\alpha x}\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n} (x^n{\rm e}^{-x}){\rm d}x=</math>
#:(après <math>n</math> intégrations par parties)
#::<math>\frac{\alpha^n}{n!}\int_0^{+\infty}x^n{\rm e}^{-(\alpha+1) x}{\rm d}x=\frac{\alpha^n}{n!(\alpha+1)^{n+1}}\int_0^{+\infty}y^n{\rm e}^{-y}{\rm d}y=\frac{\alpha^n}{(\alpha+1)^{n+1}}</math>
#:(la dernière égalité résultant d'un calcul déjà fait dans 2.1). La somme des carrés vaut donc, avec <math>q:=\frac{\alpha^2}{(\alpha+1)^2}\in\left[0,1\right[</math>
#::<math>\frac1{(\alpha+1)^2}\sum_{n\in\N}q^n=\frac1{(\alpha+1)^2(1-q)}=\frac1{(\alpha+1)^2-\alpha^2}=\frac1{2\alpha+1}</math>.
#Ce qu'on vient de calculer est la norme au carré du projeté de <math>f_\alpha</math> sur cette adhérence. Il suffit donc de vérifier que ce nombre est égal à la norme au carré de <math>f_\alpha</math> :
#:<math>\int_0^{+\infty}f_\alpha^2(x){\rm e}^{-x}{\rm d}x=\int_0^{+\infty}{\rm e}^{-(2\alpha+1)x}{\rm d}x=\frac1{2\alpha+1}</math>.
#<math>x\mapsto-\ln x</math> est un homémomorphisme (décroissant) de <math>[0, 1]</math> sur <math>[0,+\infty]</math> donc si <math>f\in C_0(\R_+)</math>, <math>g(x)=f(-\ln x)</math> est continue sur <math>[0,1]</math> et nulle en 0. Elle est donc limite uniforme sur <math>[0,1]</math> de combinaisons linéaires des <math>x^n</math> pour <math>n>0</math>, donc <math>f</math> est limite uniforme sur <math>\R^+</math> des combinaisons, avec les mêmes coefficients, des <math>f_n</math> pour <math>n>0</math>.
#L'application <math>f\mapsto g</math> est une bijection linéaire isométrique de <math>H</math> dans <math>{\rm L}^2([0,1],\lambda)</math>, qui envoie <math>(f_n)_{n\ge0}</math> sur <math>(x^n)_{n\ge0}</math>. Comme <math>(x^n)_{n\ge0}</math> est totale dans <math>(C([0,1]),\|~\|_{\infty})</math> et a fortiori dans <math>{\rm L}^2([0,1],\lambda)</math>, <math>(f_n)_{n\ge0}</math> est totale dans <math>H</math>, donc <math>(L_n)_{n\ge0}</math> aussi d'après la question 4.
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