« Application (mathématiques)/Exercices/Bijections canoniques » : différence entre les versions

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#<math>A^{B\sqcup C}\sim A^B\times A^C</math> ;
#<math>(A\times B)^C\sim A^C\times B^C</math> ;
#<math>(A^B)^C\sim A^{B\times C}</math>. ;
#<math>\left(\mathcal P(B)\right)^C\sim\mathcal P(B\times C)</math> : les applications de <math>C</math> dans <math>\mathcal P(B)</math> sont en bijection avec les [[Relation (mathématiques)|relations]] de <math>B</math> dans <math>C</math>.
{{Solution|contenu=
#L'application <math>F:A^{B\sqcup C}=A^{B_0\cup C_1}\to A^{B_0}\times A^{C_1}</math> définie par <math>F(w)=\left(w_{|B_0},w_{|C_1}\right)</math> (où <math>w_{|X}</math> désigne la restriction de <math>w</math> à <math>X</math>) est bijective, de réciproque l'application <math>G:A^{B_0}\times A^{C_1}\to A^{B_0\cup C_1}</math> définie par <math>G(u,v)(z)=\begin{cases}u(z)&\text{si }z\in B_0\\v(z)&\text{si }z\in C_1\end{cases}</math>. Et d'après l'exercice 1 (points 1, 4 et 2), <math>A^{B_0}\times A^{C_1}\sim A^B\times A^C</math>.
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#*<math>\left[(F\circ G)(w)\right](c)=\left((p_A\circ w)(c),(p_B\circ w)(c)\right)=w(c)</math> donc <math>(F\circ G)(w)=w</math>.
#L'application <math>F:(A^B)^C\to A^{B\times C}</math> définie par <math>F(w)(b,c)=w(c)(b)</math> est bijective.
#C'est le cas particulier <math>A=\{0,1\}</math> de la question précédente, via la [[Application (mathématiques)/Application caractéristique|bijection canonique entre <math>\mathcal P(E)</math> et <math>\{0,1\}^E</math>]].
}}