« Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique » : différence entre les versions

#<math>|\langle\varphi_n,x_n\rangle-\langle\varphi,x\rangle|\le|\langle\varphi_n-\varphi,x_n\rangle|+|\langle\varphi,x_n-x\rangle|\le\|\varphi_n-\varphi\|\|x_n\|+|\langle\varphi,x_n-x\rangle|</math> et <math>(x_n)</math> est bornée (cf. exercice précédent, deuxième méthode).
#Non, sinon dans tout espace de Hilbert on aurait : si <math>x_n\to x</math> faiblement alors <math>\|x_n\|\to\|x\|</math> donc ([[w:Topologie faible#Convergence faible et espaces de Hilbert|propriété de Radon-Riesz]]) <math>x_n\to x</math> fortement, or dans <math>\ell^2</math>, <math>\delta_n\to0</math> faiblement et <math>\|\delta_n\|=1</math>. Ou moins savamment : non car par exemple dans <math>\ell^2</math>, <math>\delta_n\to0</math> faiblement mais <math>\langle x_n,x_n\rangle=1\not\to\langle0,0\rangle=0</math>.
}}
 
==Exercice 1-5==
Soit ''E'' l'espace de Banach des fonctions continues sur [0, 1]. On rappelle que par le [[w:Théorème de représentation de Riesz (Riesz-Markov)|théorème de Riesz-Markov]], le dual topologique de ''E'' s'identifie à l'espace des [[Théorie de la mesure|mesures]] boréliennes finies sur [0, 1].
 
Soit <math>(f_n)_{n\geq1}</math> la suite des fonctions définies par
:<math>f_n(x)=\begin{cases}1-nx&\text{si }x\in[0,\frac1n],\\0& \text{si }x\in[\frac1n,1].\end{cases}</math>
#Montrer que la suite <math>(f_n)_{n\geq1}</math> est décroissante et converge vers la fonction <math>f</math> définie par <math>f(x)=0</math> si <math>x\in\left]0,1\right]</math> et <math>f(0)=1</math>.
#Montrer que pour tout <math>\mu\in E'</math>, <math>(\mu(f_n))_{n\geq1}</math> converge dans <math>\R</math>.
#En considérant les [[w:Mesure de Dirac|mesures de Dirac]], montrer que <math>(f_n)_{n\geq1}</math> n'est pas faiblement convergente dans ''E''.
{{Solution|contenu=
#Trivial (tracer le graphe).
#<math>\mu(f_n)\to\int f\,\mathrm d\mu=\mu(\{0\})</math>.
#<math>\delta_x(f_n)\to\delta_x(\{0\})=f(x)</math> et <math>f\notin E</math>.
}}
 
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