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« Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé » : différence entre les versions

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| numéro = 6
| précédent = [[../Théorème de Banach-Steinhaus/]]
| suivant = [[../..Espaces de Hilbert/|Sommaire]]
| niveau = 16
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==Exercice 6-4==
Soit <math>\mu</math> une [[Théorie de la mesure/Mesures|mesure positive]] (sur un [[Théorie de la mesure/Tribus#Tribus|espace mesurable]]) et <math>1\le p,q\le\infty</math> tels que <math>{\rm L}^q(\mu)\subset{\rm L}^p(\mu)</math>.▼
Soient <math>T:H\to H'</math> et <math>S:H'\to H</math> deux applications entre [[w:Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]], telles que
#Montrer que cette inclusion est continue (rappel : [[w:Théorème de Riesz-Fischer#Complétude de l'espace Lp|toute suite qui converge dans <math>{\rm L}^p(\mu)</math> possède une sous-suite qui converge <math>\mu</math>-p.p.]]).▼
:<math>\forall x\in H\quad\forall y\in H'\quad\langle T(x),y\rangle=\langle x,S(y)\rangle</math>.
#Si <math>q<p</math>, en déduire l'existence d'un <math>\varepsilon>0</math> tel que pour toute partie mesurable <math>Y</math> de mesure non nulle, <math>\mu(Y)\ge\varepsilon</math>.▼
Montrer que <math>T</math> et <math>S</math> sont linéaires et continues.
#Si au contraire <math>p<q</math> et si <math>\mu</math> est {{w|Mesure sigma-finie|σ-finie}}, en déduire que <math>\mu</math> est {{w|Mesure finie|finie}}.▼
{{Solution|contenu={{Wikipédia|Opérateur adjoint}}
{{Solution|contenu=▼
Montrons-le par exemple pour ''S''.
#Si <math>f_n\to f</math> dans <math>\mathrm L^q(\mu)</math> et <math>f_n\to g</math> dans <math>\mathrm L^p(\mu)</math> alors, en appliquant deux fois le rappel, il existe une sous-suite de <math>(f_n)</math> qui tend <math>\mu</math>-p.p. à la fois vers <math>f</math> et vers <math>g</math>, donc <math>f=g</math> (<math>\mu</math>-p.p.). D'après le théorème du graphe fermé, ceci prouve la continuité de l'inclusion.▼
* La linéarité est une conséquence directe des propriétés de bilinéarité et de non-dégénérescence du produit scalaire. On utilise que :
#Il existe donc une constante <math>C</math> telle que <math>\forall f\in\mathrm L^q(\mu)\quad\|f\|_p\le C\|f\|_q</math>. En particulier, pour toute partie mesurable <math>Y</math> de mesure (finie et) non nulle, <math>\mu(Y)^{1/p}\le C\mu(Y)^{1/q}</math>, autrement dit (si <math>q<p</math>) : <math>\mu(Y)\ge\frac1C^\frac1{\frac1q-\frac1p}</math>.▼
*::<math>\forall x\in H\quad\forall y_1,y_2\in H'\quad\forall\lambda\in K\quad\langle x,S(y_1+\lambda y_2)\rangle=\langle T(x),y_1+\lambda y_2\rangle=\langle T(x),y_1\rangle+\bar\lambda \langle T(x),y_2\rangle=\langle x,S(y_1)\rangle+\langle x,\lambda S(y_2)\rangle</math>.
#Si <math>p<q</math> et <math>\mu</math> σ-finie (exemple : <math>X=[0,1]</math> muni des tribu et mesure de Lebesgue), <math>X</math> est une union croissante de <math>X_n</math> avec, par un calcul analogue : <math>\mu(X_n)\le C^\frac1{\frac1p-\frac1q}</math>, donc <math>\mu(X)\le C^\frac1{\frac1p-\frac1q}<\infty</math>.▼
*:On en déduit :
*::<math>\langle x,S(y_1+\lambda y_2)-S(y_1)-\lambda S(y_2)\rangle=0</math>.
*:Cette égalité est vraie pour toutes les valeurs de ''x'', ce qui montre que le terme de droite du produit scalaire est nul. Cette nullité démontre le caractère linéaire de ''S''.
*Pour montrer la continuité de ''S'', il suffit, grâce au théorème du graphe fermé, de vérifier que si ''y<sub>n</sub>'' tend vers ''y'' et si ''S''(''y<sub>n</sub>'') tend vers ''z'' alors ''S''(''y'') = ''z''.<br>Or ces deux hypothèses impliquent (en utilisant l'équation « d'adjonction » de l'énoncé) que pour tout ''x'', ⟨''x'',''S''(''y<sub>n</sub>'')⟩ tend à la fois vers ⟨''x'',''S''(''y'')⟩ et vers ⟨''x'',''z''⟩ , donc que ''S''(''y'') – ''z'' est nul (car orthogonal à tout ''x'').
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#<math>\|g_x\|_2^2=\|ev_x\|_{F'}^2\le A^2</math>.
#Soit <math>f_1,\ldots,f_n\in F</math> orthonormé. <math>\forall x\in[0,1]\quad\sum|f_i(x)|^2=\sum|\langle f_i,g_x\rangle|^2\le\|g_x\|_2^2\le A^2</math> donc en intégrant sur <math>[0,1]</math>, <math>n\le A^2</math>.
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==Exercice 6-7==
▲Soit <math>\mu</math> une [[Théorie de la mesure/Mesures|mesure positive]] (sur un [[Théorie de la mesure/Tribus#Tribus|espace mesurable]]) et <math>1\le p,q\le\infty</math> tels que <math>{\rm L}^q(\mu)\subset{\rm L}^p(\mu)</math>.
▲#Montrer que cette inclusion est continue (rappel : [[w:Théorème de Riesz-Fischer#Complétude de l'espace Lp|toute suite qui converge dans <math>{\rm L}^p(\mu)</math> possède une sous-suite qui converge <math>\mu</math>-p.p.]]).
▲#Si <math>q<p</math>, en déduire l'existence d'un <math>\varepsilon>0</math> tel que pour toute partie mesurable <math>Y</math> de mesure non nulle, <math>\mu(Y)\ge\varepsilon</math>.
▲#Si au contraire <math>p<q</math> et si <math>\mu</math> est {{w|Mesure sigma-finie|σ-finie}}, en déduire que <math>\mu</math> est {{w|Mesure finie|finie}}.
▲{{Solution|contenu=
▲#Si <math>f_n\to f</math> dans <math>\mathrm L^q(\mu)</math> et <math>f_n\to g</math> dans <math>\mathrm L^p(\mu)</math> alors, en appliquant deux fois le rappel, il existe une sous-suite de <math>(f_n)</math> qui tend <math>\mu</math>-p.p. à la fois vers <math>f</math> et vers <math>g</math>, donc <math>f=g</math> (<math>\mu</math>-p.p.). D'après le théorème du graphe fermé, ceci prouve la continuité de l'inclusion.
▲#Il existe donc une constante <math>C</math> telle que <math>\forall f\in\mathrm L^q(\mu)\quad\|f\|_p\le C\|f\|_q</math>. En particulier, pour toute partie mesurable <math>Y</math> de mesure (finie et) non nulle, <math>\mu(Y)^{1/p}\le C\mu(Y)^{1/q}</math>, autrement dit (si <math>q<p</math>) : <math>\mu(Y)\ge\frac1C^\frac1{\frac1q-\frac1p}</math>.
▲#Si <math>p<q</math> et <math>\mu</math> σ-finie (exemple : <math>X=[0,1]</math> muni des tribu et mesure de Lebesgue), <math>X</math> est une union croissante de <math>X_n</math> avec, par un calcul analogue : <math>\mu(X_n)\le C^\frac1{\frac1p-\frac1q}</math>, donc <math>\mu(X)\le C^\frac1{\frac1p-\frac1q}<\infty</math>.
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| idfaculté = mathématiques
| précédent = [[../Théorème de Banach-Steinhaus/]]
| suivant = [[../..Espaces de Hilbert/|Sommaire]]
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