« Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé » : différence entre les versions
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==Exercice 6-4==
Soient <math>T:H\to H'</math> et <math>S:H'\to H</math> deux applications entre [[w:Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]], telles que
Soit <math>\mu</math> une [[Théorie de la mesure/Mesures|mesure positive]] (sur un [[Théorie de la mesure/Tribus#Tribus|espace mesurable]]) et <math>1\le p,q\le\infty</math> tels que <math>{\rm L}^q(\mu)\subset{\rm L}^p(\mu)</math>.▼
:<math>\forall x\in H\quad\forall y\in H'\quad\langle T(x),y\rangle=\langle x,S(y)\rangle</math>.
#Montrer que cette inclusion est continue (rappel : [[w:Théorème de Riesz-Fischer#Complétude de l'espace Lp|toute suite qui converge dans <math>{\rm L}^p(\mu)</math> possède une sous-suite qui converge <math>\mu</math>-p.p.]]).▼
Montrer que <math>T</math> et <math>S</math> sont linéaires et continues.
#Si <math>q<p</math>, en déduire l'existence d'un <math>\varepsilon>0</math> tel que pour toute partie mesurable <math>Y</math> de mesure non nulle, <math>\mu(Y)\ge\varepsilon</math>.▼
{{Solution|contenu={{Wikipédia|Opérateur adjoint}}
#Si au contraire <math>p<q</math> et si <math>\mu</math> est {{w|Mesure sigma-finie|σ-finie}}, en déduire que <math>\mu</math> est {{w|Mesure finie|finie}}.▼
Montrons-le par exemple pour ''S''.
{{Solution|contenu=▼
* La linéarité est une conséquence directe des propriétés de bilinéarité et de non-dégénérescence du produit scalaire. On utilise que :
#Si <math>f_n\to f</math> dans <math>\mathrm L^q(\mu)</math> et <math>f_n\to g</math> dans <math>\mathrm L^p(\mu)</math> alors, en appliquant deux fois le rappel, il existe une sous-suite de <math>(f_n)</math> qui tend <math>\mu</math>-p.p. à la fois vers <math>f</math> et vers <math>g</math>, donc <math>f=g</math> (<math>\mu</math>-p.p.). D'après le théorème du graphe fermé, ceci prouve la continuité de l'inclusion.▼
*::<math>\forall x\in H\quad\forall y_1,y_2\in H'\quad\forall\lambda\in K\quad\langle x,S(y_1+\lambda y_2)\rangle=\langle T(x),y_1+\lambda y_2\rangle=\langle T(x),y_1\rangle+\bar\lambda \langle T(x),y_2\rangle=\langle x,S(y_1)\rangle+\langle x,\lambda S(y_2)\rangle</math>.
#Il existe donc une constante <math>C</math> telle que <math>\forall f\in\mathrm L^q(\mu)\quad\|f\|_p\le C\|f\|_q</math>. En particulier, pour toute partie mesurable <math>Y</math> de mesure (finie et) non nulle, <math>\mu(Y)^{1/p}\le C\mu(Y)^{1/q}</math>, autrement dit (si <math>q<p</math>) : <math>\mu(Y)\ge\frac1C^\frac1{\frac1q-\frac1p}</math>.▼
*:On en déduit :
#Si <math>p<q</math> et <math>\mu</math> σ-finie (exemple : <math>X=[0,1]</math> muni des tribu et mesure de Lebesgue), <math>X</math> est une union croissante de <math>X_n</math> avec, par un calcul analogue : <math>\mu(X_n)\le C^\frac1{\frac1p-\frac1q}</math>, donc <math>\mu(X)\le C^\frac1{\frac1p-\frac1q}<\infty</math>.▼
*::<math>\langle x,S(y_1+\lambda y_2)-S(y_1)-\lambda S(y_2)\rangle=0</math>.
*:Cette égalité est vraie pour toutes les valeurs de ''x'', ce qui montre que le terme de droite du produit scalaire est nul. Cette nullité démontre le caractère linéaire de ''S''.
*Pour montrer la continuité de ''S'', il suffit, grâce au théorème du graphe fermé, de vérifier que si ''y<sub>n</sub>'' tend vers ''y'' et si ''S''(''y<sub>n</sub>'') tend vers ''z'' alors ''S''(''y'') = ''z''.<br>Or ces deux hypothèses impliquent (en utilisant l'équation « d'adjonction » de l'énoncé) que pour tout ''x'', ⟨''x'',''S''(''y<sub>n</sub>'')⟩ tend à la fois vers ⟨''x'',''S''(''y'')⟩ et vers ⟨''x'',''z''⟩ , donc que ''S''(''y'') – ''z'' est nul (car orthogonal à tout ''x'').
}}
Ligne 86 ⟶ 89 :
#<math>\|g_x\|_2^2=\|ev_x\|_{F'}^2\le A^2</math>.
#Soit <math>f_1,\ldots,f_n\in F</math> orthonormé. <math>\forall x\in[0,1]\quad\sum|f_i(x)|^2=\sum|\langle f_i,g_x\rangle|^2\le\|g_x\|_2^2\le A^2</math> donc en intégrant sur <math>[0,1]</math>, <math>n\le A^2</math>.
}}
==Exercice 6-7==
▲Soit <math>\mu</math> une [[Théorie de la mesure/Mesures|mesure positive]] (sur un [[Théorie de la mesure/Tribus#Tribus|espace mesurable]]) et <math>1\le p,q\le\infty</math> tels que <math>{\rm L}^q(\mu)\subset{\rm L}^p(\mu)</math>.
▲#Montrer que cette inclusion est continue (rappel : [[w:Théorème de Riesz-Fischer#Complétude de l'espace Lp|toute suite qui converge dans <math>{\rm L}^p(\mu)</math> possède une sous-suite qui converge <math>\mu</math>-p.p.]]).
▲#Si <math>q<p</math>, en déduire l'existence d'un <math>\varepsilon>0</math> tel que pour toute partie mesurable <math>Y</math> de mesure non nulle, <math>\mu(Y)\ge\varepsilon</math>.
▲#Si au contraire <math>p<q</math> et si <math>\mu</math> est {{w|Mesure sigma-finie|σ-finie}}, en déduire que <math>\mu</math> est {{w|Mesure finie|finie}}.
▲{{Solution|contenu=
▲#Si <math>f_n\to f</math> dans <math>\mathrm L^q(\mu)</math> et <math>f_n\to g</math> dans <math>\mathrm L^p(\mu)</math> alors, en appliquant deux fois le rappel, il existe une sous-suite de <math>(f_n)</math> qui tend <math>\mu</math>-p.p. à la fois vers <math>f</math> et vers <math>g</math>, donc <math>f=g</math> (<math>\mu</math>-p.p.). D'après le théorème du graphe fermé, ceci prouve la continuité de l'inclusion.
▲#Il existe donc une constante <math>C</math> telle que <math>\forall f\in\mathrm L^q(\mu)\quad\|f\|_p\le C\|f\|_q</math>. En particulier, pour toute partie mesurable <math>Y</math> de mesure (finie et) non nulle, <math>\mu(Y)^{1/p}\le C\mu(Y)^{1/q}</math>, autrement dit (si <math>q<p</math>) : <math>\mu(Y)\ge\frac1C^\frac1{\frac1q-\frac1p}</math>.
▲#Si <math>p<q</math> et <math>\mu</math> σ-finie (exemple : <math>X=[0,1]</math> muni des tribu et mesure de Lebesgue), <math>X</math> est une union croissante de <math>X_n</math> avec, par un calcul analogue : <math>\mu(X_n)\le C^\frac1{\frac1p-\frac1q}</math>, donc <math>\mu(X)\le C^\frac1{\frac1p-\frac1q}<\infty</math>.
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