« Espaces de Banach/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
m →‎Exercice 3-2 : -coquille
Ligne 42 :
#<math>\lambda I-K</math> est inversible.
}}
 
==Exercice 3-4==
<!--lacombe massat-->
Soit <math>(\lambda_n)_n</math> une suite de nombres complexes et soit <math>T</math> l'application linéaire de <math>\ell^p</math> dans lui-même (<math>p\in [1,+\infty[</math>) définie par
:<math>\forall f=(f(n))_n \in\ell^p\quad Tf(n)=\lambda_n f(n)</math>.
#Montrer que <math>T</math> est continu si et seulement si <math>(\lambda_n)_n</math> est bornée.
#On suppose que <math>(\lambda_n)_n</math> tend vers 0. Montrer que <math>T</math> est un opérateur compact {{supra|Exercice 3-2}}. ''Indication : on pourra introduire la suite des opérateurs <math>T_k</math> définis par <math>T_kf(n)=\lambda_n f(n)</math> si <math>n\le k</math> et 0 sinon.''
#Réciproquement, on suppose que <math>(\lambda_n)_n</math> ne tend pas vers 0. En raisonnant par l'absurde, montrer que <math>T</math> n'est pas compact.
{{Solution|contenu=}}
 
{{Bas de page