« Espaces de Banach/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
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Soit <math>(\lambda_n)_n</math> une suite de nombres complexes et soit <math>T</math> l'application linéaire de <math>\ell^p</math> dans lui-même (<math>p\in [1,+\infty[</math>) définie par
:<math>\forall f=(f(n))_n \in\ell^p\quad Tf(n)=\lambda_n f(n)</math>.
#Montrer que <math>T</math> est
#On suppose que <math>(\lambda_n)_n</math> tend vers 0. Montrer que <math>T</math> est un opérateur compact {{supra|Exercice 3-2}}. ''Indication : on pourra introduire la suite des opérateurs <math>T_k</math> définis par <math>T_kf(n)=\lambda_n f(n)</math> si <math>n\le k</math> et <math>0</math> sinon.''
#Réciproquement, on suppose que <math>(\lambda_n)_n</math> ne tend pas vers 0. En raisonnant par l'absurde, montrer que <math>T</math> n'est pas compact.
{{Solution|contenu=
#On a évidemment <math>|\!|\!|T|\!|\!|\le\|\lambda\|_\infty</math>. Réciproquement, <math>\forall n\in\N\quad\|T\delta_n\|_p=\|\lambda_n\delta_n\|_p=|\lambda_n|\|\delta_n\|_p</math> donc <math>\|\lambda\|_\infty\le|\!|\!|T|\!|\!|</math>.
#Les <math>T_k</math> sont de rang fini donc compacts, et <math>|\!|\!|T-T_k|\!|\!|=\sup_{n\ge k}|\lambda_n\|\to0</math>.
#Puisque <math>(\lambda_n)_n</math> ne tend pas vers 0, il existe <math>\varepsilon>0</math> et une sous-suite <math>\lambda_{n_k}\ge\varepsilon</math>. Soit <math>F</math> le sous-espace des <math>f\in\ell^p</math> telles que <math>f_n=0</math> pour tout <math>n\notin\{n_k\mid k\in\N\}</math>. On a <math>\forall f\in F\quad\|Tf\|_p\ge\varepsilon\|f\|p</math> donc la restriction de <math>T</math> à ce sous-espace (fermé et de dimension infinie) est bicontinue. Si <math>T</math> était compact, <math>T\left(B(0,1)\right)</math> serait relativement compact donc <math>T\left(B(0,1)\cap F\right)=T\left(B(0,1)\right)\cap F</math> aussi donc (par bicontinuité de la restriction de <math>T</math> à <math>F</math>) <math>B(0,1)\cap F</math> aussi, ce qui contredirait le [[Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Compacité et dimension finie|théorème de Riesz]].
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