« Espaces de Banach/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
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→Exercice 3-4 : sol |
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Ligne 53 :
#On a évidemment <math>|\!|\!|T|\!|\!|\le\|\lambda\|_\infty</math>. Réciproquement, <math>\forall n\in\N\quad\|T\delta_n\|_p=\|\lambda_n\delta_n\|_p=|\lambda_n|\|\delta_n\|_p</math> donc <math>\|\lambda\|_\infty\le|\!|\!|T|\!|\!|</math>.
#Les <math>T_k</math> sont de rang fini donc compacts, et <math>|\!|\!|T-T_k|\!|\!|=\sup_{n\ge k}|\lambda_n\|\to0</math>.
#Puisque <math>(\lambda_n)_n</math> ne tend pas vers 0, il existe <math>\varepsilon>0</math> et une sous-suite <math>\lambda_{n_k}\ge\varepsilon</math>. Soit <math>F</math> le sous-espace des <math>f\in\ell^p</math> telles que <math>f_n=0</math> pour tout <math>n\notin\{n_k\mid k\in\N\}</math>. On a <math>\forall f\in F\quad\|Tf\|_p\ge\varepsilon\|f\|
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