« Espaces de Banach/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
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→Exercice 3-4 : +2 Remarques |
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Ligne 52 :
{{Solution|contenu=
#On a évidemment <math>|\!|\!|T|\!|\!|\le\|\lambda\|_\infty</math>. Réciproquement, <math>\forall n\in\N\quad\|T\delta_n\|_p=\|\lambda_n\delta_n\|_p=|\lambda_n|\|\delta_n\|_p</math> donc <math>\|\lambda\|_\infty\le|\!|\!|T|\!|\!|</math>.
#Les <math>T_k</math> sont de rang fini donc compacts, et <math>|\!|\!|T-T_k|\!|\!|=\sup_{n\ge k}|\lambda_n\|\to0</math>. On en déduit que <math>T</math> est compact {{supra|Exercice 3-2}}.
#Puisque <math>(\lambda_n)_n</math> ne tend pas vers 0, il existe <math>\varepsilon>0</math> et une sous-suite <math>\lambda_{n_k}\ge\varepsilon</math>. Soit <math>F</math> le sous-espace des <math>f\in\ell^p</math> telles que <math>f_n=0</math> pour tout <math>n\notin\{n_k\mid k\in\N\}</math>. On a <math>\forall f\in F\quad\|Tf\|_p\ge\varepsilon\|f\|_p</math> donc la restriction de <math>T</math> à ce sous-espace (fermé et de dimension infinie) est bicontinue. Si <math>T</math> était compact, <math>T\left(B(0,1)\right)</math> serait relativement compact donc <math>T\left(B(0,1)\cap F\right)=T\left(B(0,1)\right)\cap F</math> aussi donc (par bicontinuité de la restriction de <math>T</math> à <math>F</math>) <math>B(0,1)\cap F</math> aussi, ce qui contredirait le [[Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Compacité et dimension finie|théorème de Riesz]].
Remarques
*Si <math>(\lambda_n)_n</math> n'est pas bornée, non seulement <math>T</math> n'est pas continue de <math>\ell^p</math> dans lui-même, mais <math>T</math> n'envoie même pas <math>\ell^p</math> dans <math>\ell^p</math>. En effet, <math>(\lambda_n^p)_n</math> n'est pas bornée donc <math>\exists g\in\ell^1\quad(\lambda_n^pg_n)_{n\in\N}\notin\ell^1</math> donc (en posant <math>f_n=|g_n|^{1/p}</math>) <math>\exists f\in\ell^p~T(f)\notin\ell^p</math>.
*On a utilisé le fait que si <math>F</math> est complet alors toute limite, dans <math>\mathcal L(E,F)</math>, d'une suite d'opérateurs de rang fini, est un opérateur compact [[w:Propriété d'approximation|La réciproque]] est fausse en général (même avec <math>F</math> Banach séparable), mais vraie si <math>F</math> est un Hilbert (non nécessairement séparable) (en utilisant la précompacité et des projections orthogonales).
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