« Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert » : différence entre les versions

(Page créée avec « {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 7 | précédent = ../Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé/ | suivant = Sommaire | niveau = 16 }} {{Wikipédia|Espace de Hilbert}} ==Exercice 7-1== Soient <math>H</math> un espace de Hilbert et <math>T</math> un {{w|opérateur normal}} sur <math>H</math>, c.-à-d. <math>TT^*=T^*T</math>. #Montrer que <math>\ker T=\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\bot</m... »)
 
#Montrer que <math>\ker T=\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
#En déduire que <math>T</math> est inversible si et seulement s'il existe une constante <math>C</math> telle que : <math>\|Tx\|\ge C\|x\|</math> pour tout <math>x\in H</math>.
{{Solution|contenu=}}
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#*<math>\ker T=\ker T^*</math>, c.-à-d. <math>Tx=0\Leftrightarrow T^*x=0</math>, car <math>\|T^*x\|^2=\|Tx\|^2</math> et même, <math>\langle T^*x,T^*y\rangle=\langle x,TT^*y\rangle=\langle x,T^*Ty\rangle=\langle Tx,Ty\rangle</math>.
#*<math>\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\bot</math> car <math>x\in(\operatorname{im}T)^\bot\Leftrightarrow\forall y\in H\quad\langle Ty,x\rangle=0\Leftrightarrow\forall y\in H\quad\langle y,T^*x\rangle=0\Leftrightarrow T^*x=0</math>.
#Si <math>\|Tx\|\ge C\|x\|</math> pour tout <math>x\in H</math> alors <math>\ker T=\{0\}</math> (donc <math>\operatorname{im}T</math> est dense d'après la question 1), et <math>T^{-1}:\operatorname{im}T\to H</math> est (bi)continue, donc <math>\operatorname{im}T</math> est complet, si bien que <math>\operatorname{im}T=H</math>.<br>Réciproquement, si <math>T</math> est inversible alors <math>T^{-1}:H\to H</math> continue (d'après le [[w:Théorème de Banach-Schauder#Conséquences|théorème de l'isomorphisme de Banach]]), d'où l'existence d'une constante <math>C</math> telle que <math>\|Tx\|\ge C\|x\|</math> pour tout <math>x\in H</math>.
}}
 
==Exercice 7-2==
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