« Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert » : différence entre les versions
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==Exercice 7-2==
Soient <math>H</math> un espace de Hilbert et <math>T</math> un opérateur positif, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]]<ref>Ce qu'on appelle d'ordinaire opérateur positif, sur un Hilbert, est un opérateur <math>T</math> qui, en plus de vérifier <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\ge0</math>, est autoadjoint. Mais avec cette hypothèse supplémentaire, les questions 1 et 2 de l'exercice n'auraient plus d'intérêt (la question 1 de l'[[../Espaces de Hilbert#Exercice 7-1|exercice 7-1]] suffirait). Sur un Hilbert complexe, cette hypothèse supplémentaire est en fait redondante car un opérateur <math>T</math> est autoadjoint si et seulement si <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\in\R</math>. Mais sur <math>\R^2</math>, <math>T:(x_1,x_2)\mapsto(x_1+x_2,x_2)</math> vérifie <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\ge0</math> et n'est pas autoadjoint ni même normal.</ref> : pour tout <math>x\in H</math>, <math>\langle Tx,x\rangle \ge0</math>.
#Montrer, pour tous <math>x\in\ker T</math>, <math>y\in H</math> et <math>t\in\R</math>, que <math>t\langle Ty, ty-x\rangle \geq 0</math>. En déduire que <math>\ker T\subset(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
#En considérant <math>T^*</math>, montrer que <math>\ker T=(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
#En utilisant le {{w|théorème de Lax-Milgram}}, montrer que <math>\mathrm I+tT</math> est bijectif pour tout <math>t
{{Solution|contenu=}}
{{Références}}
==Exercice 7-3==
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