« Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert » : différence entre les versions

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#En considérant <math>T^*</math>, montrer que <math>\ker T=(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
#En utilisant le {{w|théorème de Lax-Milgram}}, montrer que <math>\mathrm I+tT</math> est bijectif pour tout <math>t\ge0</math>.
{{Solution|contenu=}}
#Supposons <math>t\ne0</math> et posons <math>z=\frac xt</math>. Alors, <math>t\langle Ty, ty-x\rangle=t^2\langle T(y-z), y-z\rangle\ge0</math>.<br>On en déduit que pour tous <math>x\in\ker T</math>, <math>y\in H</math> et <math>t>0</math>, <math>\langle Ty,x\rangle\le t\langle Ty,y\rangle</math>, d'où <math>\langle Ty,x\rangle\le0</math> et (en appliquant cette conclusion à <math>-x</math> qui appartient aussi à <math>\ker T</math>) <math>\langle Ty,-x\rangle\le0</math>, si bien qu'en fait <math>\langle Ty,x\rangle=0</math>. Ceci prouve que <math>\ker T\subset(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
#<math>T^*</math> est aussi positif donc <math>\ker(T^*)\subset(\operatorname{im}(T^*))^\bot=\ker T</math>. On a donc à la fois <math>\ker T\subset\ker(T^*)</math> et <math>\ker(T^*)\subset\ker T</math>, d'où <math>\ker T=\ker(T^*)=(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
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