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==Exercice 7-3==
{{Wikipédia|Espace de Sobolev}}
Notons <math>\Omega</math> l'ouvert <math>\left]0,+\infty\right[</math> (donc <math>\overline\Omega=\R_+</math>).
On définit son espace de Sobolev <math>H^1</math> comme étant l'espace de Hilbert
On rappelle que son {{w|espace de Sobolev}} <math>H^1</math> est le complété de l'[[Espace préhilbertien réel|espace préhilbertien]] <math>\mathcal D(\R_+)</math> ([[w:Fonction C∞ à support compact|espace des fonctions C{{exp|∞}} à support compact]]) muni du produit scalaire <math>\langle u,v\rangle=\langle u,v\rangle_2 +\langle u',v'\rangle_2</math>.
:<math>H^1:=\{u\in\mathrm L^2(\Omega)\mid Du\in\mathrm L^2(\Omega)\}</math>
(où <math>Du</math> est la [[Théorie physique des distributions/Dérivation|dérivée de <math>u</math> au sens des distributions]]), muni du produit scalaire
:<math>\langle u,v\rangle:=\langle u,v\rangle_2 +\langle u',v'\rangle_2</math>.
 
#Montrer que :
#*<math>\forall u\in H^1\quad u\in C_0(\overline\Omega)\quad{\rm et}\quad\|u\|_\infty\le\|u\|_{H^1}</math>
#*<math>\forall u,v\in H^1\quad\int_\Omega(uDv+vDu)=-u(0)v(0)</math> (« formule d'intégration par parties »).
#Montrer que par ailleurs, le sous-espace <math>C_c^\infty(\overline\Omega)=\mathcal D(\R_+)</math> ([[w:Fonction C∞ à support compact|espace des fonctions C{{exp|∞}} à support compact]]) est dense dans <math>H^1</math>.
{{Solution|contenu=
#
#*<math>u</math> est continue sur <math>\overline\Omega</math> — puisque <math>Du\in{\rm L}^1_{\mathrm{loc}}</math> — plus précisément : <math>u</math> est égale presque partout à une fonction continue (à laquelle on l'identifie) ; elle est même <math>\tfrac12</math>-[[Topologie générale/Espace métrique#Continuité uniforme|holdérienne]] puisque (par Cauchy-Schwarz) <math>|u(x)-u(y)|\le\|Du\|_2\sqrt{|x-y|}</math>.<br>De plus, <math>\lim_{+\infty}u=0</math> puisque <math>u^2(x)=u^2(0)+\int_0^x2uDu</math> a une limite en <math>+\infty</math> — car <math>uDu\in{\rm L}^1(\Omega)</math> — et que <math>u^2\in{\rm L}^1(\Omega)</math>.<br>Enfin, <math>\forall x\in\overline\Omega\quad u^2(x)=-\int_x^{+\infty}2uDu\le2\|u\|_2\|Du\|_2\le\|u\|_2^2+\|Du\|_2^2</math> (en utilisant que <math>\lim_{+\infty}u=0</math> et, à nouveau, Cauchy-Schwarz).
#*La formule d'intégration par parties se démontre de même.
#Tout <math>u\in H^1</math> est limite pour <math>\|~\|_{H^1}</math> de fonctions de <math>\mathcal D(\R_+)</math>, par troncature puis régularisation : on se ramène d'abord au cas où <math>u</math> est à support compact en l'approximant dans <math>H^1</math> par <math>u(x)\psi(x/n)</math> avec <math>\psi\in C_c^1(\overline\Omega)</math>, <math>\psi=1</math> au voisinage de 0 et <math>n\to+\infty</math>, puis on la convole par <math>\tfrac1\varepsilon\rho(x/\varepsilon)</math> avec <math>\rho\in C_c^\infty(\R)</math>, positive et d'intégrale 1 et <math>\varepsilon\to0^+</math>. Par conséquent, <math>H^1</math> est le complété, pour <math>\|~\|_{H^1}</math>, de <math>C_c^\infty(\overline\Omega)</math> (et ''a fortiori'' aussi de <math>\{u\in C^\infty(\overline\Omega)\mid u^2+u'^2\in{\rm L}^1(\Omega)\}</math>).
{{Wikipédia|Théorème de Meyers-Serrin}}
}}
 
==Exercice 7-4==
On reprend les notations de l'exercice précédent, et les résultats de la question 1.
#Montrer qu'il existe un opérateur <math>K</math> sur <math>H^1</math> tel que pour tous <math>u,v\in H^1</math>, <math>\langle Ku, v\rangle=u(0)v(0)</math>.
#Montrer que <math>K</math> est autoadjoint et de rang 1.
#En utilisant l'{{w|alternative de Fredholm}}, montrer qu'il admet une unique solution <math>u</math> dans <math>H^1</math> si et seulement si <math>\alpha\ne1</math>.
{{Solution|contenu=
<!--#Il s'agit de montrer que la forme linéaire <math>u\mapsto u(0)</math> est continue sur <math>H^1</math>. Pour tout <math>u\in\mathcal D(\R_+)</math>, <math>\|u\|_\infty\le\|u\|_{H^1}</math>. En effet, <math>\forall x\in\R_+\quad u^2(x)=-\int_x^{+\infty}2uu'\le2\|u\|_2\|u'\|_2\le\|u\|_2^2+\|u'\|_2^2</math>.
-->
#L'application bilinéaire <math>\varphi:(u,v)\mapsto u(0)v(0)</math> est continue sur <math>H^1\times H^1</math> (de norme <math>\le1</math>) donc (d'après le th. de représentation de Riesz) de la forme <math>\varphi(u,v)=\langle Ku,v\rangle</math> pour un certain opérateur <math>K</math> sur <math>H^1</math> (de même norme que <math>\varphi</math>).
#<math>\varphi</math> est symétrique donc <math>K</math> est autoadjoint.<br><math>Ku=0\Leftrightarrow\forall v\in H^1~u(0)v(0)=0\Leftrightarrow u(0)=0</math> donc <math>K</math> a même noyau que la forme linéaire <math>u\mapsto u(0)</math>, donc <math>\ker K</math> est un hyperplan, c'est-à-dire que <math>K</math> est de rang 1.<br>Une façon plus directe et plus explicite de résoudre ces deux questions est de remarquer qu'en posant <math>u_0(x):={\rm e}^{-x}</math>, on a <math>u_0,u'_0\in H^1</math> et (d'après la formule d'intégration par parties)<br><math>\forall u\in H^1\quad u(0)=-u'_0(0)u(0)=\int_\Omega(uu''_0+u'_0Du)=\int_\Omega(uu_0+u'_0Du)=\langle u_0,u\rangle_{H^1}</math> donc<br><math>\forall u,v\in H^1\quad u(0)v(0)=\langle u_0,u\rangle_{H^1}\langle u_0,v\rangle_{H^1}=\langle Ku,v\rangle_{H^1}\text{ avec }Ku:=\langle u_0,u\rangle_{H^1}u_0</math>.<br>On trouve ainsi immédiatement (on le retrouvera grâce à la question 3 et ce sera utile à la question 4) que la valeur propre non nulle de <math>K</math> est <math>\|u_0\|_{H^1}^2=2\int_{\R^+}{\rm e}^{-2x}{\rm d}x=1</math> (c'est-à-dire que <math>K</math> est la projection orthogonale sur la droite engendrée par <math>u_0</math>).
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