« Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert » : différence entre les versions

→‎Exercice 7-3 : remarque : petite généralisation de cette inégalité de Sobolev
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(→‎Exercice 7-3 : remarque : petite généralisation de cette inégalité de Sobolev)
 
#Montrer que :
#*<math>\forall u\in H^1\quad u\in C_0(\overline\Omega)\quad{\rm et}\quad\|u\|_\infty\le\|u\|_{H^1}</math> ;
#*<math>\forall u,v\in H^1\quad\int_\Omega(uDv+vDu)=-u(0)v(0)</math> (« formule d'intégration par parties »).
#Montrer que par ailleurs, le sous-espace <math>C_c^\infty(\overline\Omega)=\mathcal D(\R_+)</math> ([[w:Fonction C∞ à support compact|espace des fonctions C{{exp|∞}} à support compact]]) est dense dans <math>H^1</math>.
{{Solution|contenu=
#
#*<math>u</math> est continue sur <math>\overline\Omega</math> — puisque <math>Du\in{\rm L}^1_{\mathrm{loc}}</math> — plus précisément : <math>u</math> est égale presque partout à une fonction continue (à laquelle on l'identifie) ; elle est même <math>\tfrac12</math>-[[Topologie générale/Espace métrique#Continuité uniforme|holdérienne]] puisque (par Cauchy-Schwarz) <math>|u(x)-u(y)|\le\|Du\|_2\sqrt{|x-y|}</math>.<br>De plus, <math>\lim_{+\infty}u=0</math> puisque <math>u^2(x)=u^2(0)+\int_0^x2uDu</math> a une limite en <math>+\infty</math> — car <math>uDu\in{\rm L}^1(\Omega)</math> — et que <math>u^2\in{\rm L}^1(\Omega)</math>.<br>Enfin, <math>\forall x\in\overline\Omega\quad u^2(x)=-\int_x^{+\infty}2uDu\le2\|u\|_2\|Du\|_2\le\|u\|_2^2+\|Du\|_2^2</math> (en utilisant que <math>\lim_{+\infty}u=0</math> et, à nouveau, Cauchy-Schwarz) donc <math>u^2(x)\le\|u\|_2^2+\|Du\|_2^2</math>.
#*La formule d'intégration par parties se démontre de même.
#Tout <math>u\in H^1</math> est limite pour <math>\|~\|_{H^1}</math> de fonctions de <math>\mathcal D(\R_+)</math>, par troncature puis régularisation : on se ramène d'abord au cas où <math>u</math> est à support compact en l'approximant dans <math>H^1</math> par <math>u(x)\psi(x/n)</math> avec <math>\psi\in C_c^1(\overline\Omega)</math>, <math>\psi=1</math> au voisinage de 0 et <math>n\to+\infty</math>, puis on la convole par <math>\tfrac1\varepsilon\rho(x/\varepsilon)</math> avec <math>\rho\in C_c^\infty(\R)</math>, positive et d'intégrale 1 et <math>\varepsilon\to0^+</math>. Par conséquent, <math>H^1</math> est le complété, pour <math>\|~\|_{H^1}</math>, de <math>C_c^\infty(\overline\Omega)</math> (et ''a fortiori'' aussi de <math>\{u\in C^\infty(\overline\Omega)\mid u^2+u'^2\in{\rm L}^1(\Omega)\}</math>).
{{Wikipédia|Théorème de Meyers-Serrin}}
'''Remarque.''' Plus généralement, pour tout réel <math>p\ge1</math>, on définit l'espace de Sobolev <math>H^{1,p}</math> comme étant l'espace de Banach
:<math>H^{1,p}:=\{u\in\mathrm L^p(\Omega)\mid Du\in\mathrm L^p(\Omega)\}</math>
muni de la norme
:<math>\|u\|_{H^{1,p}}:=\sqrt[p]{\|u\|_p^p+\|Du\|_p^p}</math>
et l'on démontre comme dans la question 1 que
:<math>\forall u\in H^{1,p}\quad u\in C_0(\overline\Omega)\quad{\rm et}\quad\|u\|_\infty\le C^{1/p}\|u\|_{H^{1,p}}</math> avec <math>C:=\max(1,p-1)</math>. En effet :
*<math>\lim_{+\infty}u^p=0</math> puisque <math>u^p(x)=u^p(0)+\int_0^xpu^{p-1}Du</math> a une limite en <math>+\infty</math> — car <math>u^{p-1}Du\in{\rm L}^1(\Omega)</math>d'après l'[[Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen#Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder|inégalité de Hölder]] — et que <math>u^p\in{\rm L}^1(\Omega)</math>.
*<math>\forall x\in\overline\Omega\quad|u(x)|^p=\left|\int_x^{+\infty}pu^{p-1}Du\right|\le p\|u\|_p^{p-1}\|Du\|_p</math> (en utilisant que <math>\lim_{+\infty}u=0</math> et, à nouveau, Hölder) donc (d'après l'[[Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen#Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder|inégalité de Young]]) <math>|u(x)|^p\le C\left(\|u\|_p^p+\|Du\|_p^p\right)</math>.
}}
 
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