« Espaces de Banach/Exercices/Théorème de Banach-Steinhaus » : différence entre les versions
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→Exercice 5-3 : +1 (ensembles de Sidon) |
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Ligne 40 :
#D'après le principe de la borne uniforme, si la suite <math>S_n</math> (de formes linéaires continues sur un Banach) convergeait simplement, on aurait <math>\sup_nL_n<\infty</math>. Ce n'est pas le cas, donc il existe un <math>f</math> pour lequel la série de Fourier en <math>x</math> diverge.
#Le théorème de Banach-Steinhaus dit plus précisément que, puisque <math>\sup_nL_n=\infty</math>, il existe un ensemble comaigre (ou « résiduel » : c’est-à-dire contenant une intersection dénombrable d'ouverts denses ; une telle partie est dense d'après le théorème de Baire) de fonctions <math>f</math> telles que <math>\sup_n|S_n(f)(x)|=+\infty</math>. Pour ces fonctions, la série de Fourier en <math>x</math> diverge.
}}
==Exercice 5-4==
Soient <math>E</math> l'espace de Banach des fonctions continues sur <math>[-\pi,\pi]</math> muni de la norme uniforme <math>\|\cdot\|_\infty</math>, et <math>\ell^1(\Z)</math> l'espace de Banach des suites (indexées par <math>\Z</math>) absolument sommables muni de la norme <math>\|\cdot\|_1</math> définie par <math>\|a\|_1=\sum_{k\in\Z}|a_k|</math>. Pour tout <math>f\in E</math>, on note <math>c(f)=(c_k(f))_{k\in\Z}</math> la suite des coefficients de Fourier de <math>f</math>, définis par <math>c_k(f)=\int_{-\pi}^\pi f(x)\operatorname e^{-\mathrm ikx}\;\mathrm idx</math>.
Pour tout <math>N\subset\Z</math>, on note <math>E_N:=\{f\in E\mid\forall k\not\in N\quad c_k(f)=0\}</math>.
#Montrer que <math>E_N</math> muni de la norme <math>\|\cdot\|_\infty</math> est un espace de Banach.
#On dit que <math>N</math> est un ensemble de Sidon si <math>c(E_N)\subset\ell^1(\Z)</math>. Montrer qu'alors, il existe une constante <math>M</math> telle que pour tout <math>f\in E_N</math>, <math>\|c(f)\|_1\le M\|f\|_\infty</math>.<br>''Indication'' : on pourra introduire la suite d'applications <math>L^{(n)}:E_N\to\ell^1(\Z)</math> définies par <math>L^{(n)}(f)_k=c_k(f)</math> si <math>|k|\le n</math> et 0 sinon, et appliquer Banach-Steinhaus.
{{Solution|contenu=
#Dans le Banach <math>E</math>, la partie <math>E_N=\cap_{k\in\Z\setminus N}\ker(c_k)</math> est fermée car les formes linéaires <math>c_k</math> sont continues (de norme <math>\le2\pi</math>).
#Supposons que <math>N</math> est de Sidon et montrons qu'alors, <math>c</math> est continue de <math>(E_N,\|~\|_\infty)</math> dans <math>(\ell^1(\Z),\|~\|_1)</math>.<br>Pour tout <math>n\in\N</math>, l'application linéaire <math>L^{(n)}:=c\times\chi_{[-n,n]}:E_N\to\ell^1(\Z)</math> est continue (de norme <math>\le(2n+1)2\pi</math>) et <math>\forall f\in E_n\quad L^{(n)}(f)\to c(f)</math> (car dans <math>\ell^1(\Z)</math>, tout élément <math>x</math> est limite de <math>x\times\chi_{[-n,n]}</math> puisque <math>\sum_{|k|>n}|x_k|\to0</math>) donc la suite <math>(L^{(n)}(f))_n</math> est bornée. D'après le théorème de Banach-Steinhaus, <math>\|c\|=\sup_{n\in N}\|L^{(n)}\|</math> est donc fini.
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