« Espaces de Banach/Exercices/Théorème de Banach-Steinhaus » : différence entre les versions

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→‎Exercice 5-3 : +1 (ensembles de Sidon)
 
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#Dans le Banach <math>E</math>, la partie <math>E_N=\cap_{k\in\Z\setminus N}\ker(c_k)</math> est fermée car les formes linéaires <math>c_k</math> sont continues (de norme <math>\le2\pi</math>).
#Supposons que <math>N</math> est de Sidon et montrons qu'alors, <math>c</math> est continue de <math>(E_N,\|~\|_\infty)</math> dans <math>(\ell^1(\Z),\|~\|_1)</math>.<br>Pour tout <math>n\in\N</math>, l'application linéaire <math>L^{(n)}:=c\times\chi_{[-n,n]}:E_N\to\ell^1(\Z)</math> est continue (de norme <math>\le(2n+1)2\pi</math>) et <math>\forall f\in E_n\quad L^{(n)}(f)\to c(f)</math> (car dans <math>\ell^1(\Z)</math>, tout élément <math>x</math> est limite de <math>x\times\chi_{[-n,n]}</math> puisque <math>\sum_{|k|>n}|x_k|\to0</math>) donc la suite <math>(L^{(n)}(f))_n</math> est bornée. D'après le théorème de Banach-Steinhaus, <math>\|c\|=\sup_{n\in N}\|L^{(n)}\|</math> est donc fini.
}}
 
==Exercice 5-5==
Soit <math>f\in\mathrm L^2([0,1],\mathrm dx)</math> une fonction satisfaisant la propriété (P) suivante :
:(P) <math>\forall g\in\mathrm L^2([0,1],\mathrm dx)\quad fg\in\mathrm L^2([0,1],\mathrm dx)</math>.
On pose <math>T_f(g)=fg</math>. Ainsi, <math>T_f</math> est une application linéaire de <math>\mathrm L^2([0,1],\mathrm dx)</math> dans lui-même.
#Donner un exemple de fonction <math>f</math> qui ne vérifie pas (P).
#Montrer que si <math>f</math> vérifie (P) alors <math>T_f</math> est continue. ''(On pourra introduire les fonctions bornées <math>f_n:=\frac f{|f|}\min(|f|,n)</math> et les opérateurs <math>T_{f_n}</math>).''
{{Solution|contenu=
#<math>f(x)=x^{-1/4}</math> : <math>f^2</math> est intégrable en 0 mais pas <math>f^4</math>.
#Les <math>f_n</math> vérifient évidemment (P) et les endomorphismes <math>T_{f_n}</math> sont continus (de norme <math>\le n</math>). Ils convergent simplement vers <math>T_f</math> car pour tout <math>g\in\mathrm L^2([0,1],\mathrm dx)</math>, <math>\|(T_f-T_{f_n})(g)\|_2^2=\int_{|f|>n}|fg|^2\to0</math> (par [[w:Théorème de convergence dominée|convergence dominée]]). D'après le théorème de Banach-Steinhaus, la limite <math>T_f</math> est donc continue.
}}