« Espaces de Banach/Devoir/Diagonalisation d'un opérateur autoadjoint compact » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
suite énoncé |
fin de l'énoncé |
||
Ligne 27 :
à la caractérisation de <math>\|T\|</math> rappelée au début.)''
'''4) a)''' En déduire que les valeurs propres non nulles forment une suite telle que <math>|\lambda_0|\ge|\lambda_1|\ge\dots\ge|\lambda_n|\ge\dots</math>, que les espaces propres associés <math>F_k</math> sont deux à deux orthogonaux, et que
:'''b)''' Montrer que <math>T</math> est la limite (au sens de la norme des opérateurs) des <math>T_n:=T\Pi_{G_n}</math> où <math>G_n:=\oplus_{0\le k\le n}
'''Partie II.''' Dans cette partie, <math>H=\mathrm L^2([0,1],\mathrm dx)</math>. Pour <math>t,x\in[0,1]</math>, on pose :
:<math>K(t,x)=\min(t,x)\left(1-\max(t,x)\right)</math>
puis
:<math>Tf(x)=\int_0^1K(t,x)f(t)\,\mathrm dt</math>.
'''1)''' Montrer que <math>T</math> est un opérateur autoadjoint compact sur <math>H</math> et que son image est incluse dans le sous-espace des fonctions continues sur <math>[0,1]</math>.
'''2) a)''' Montrer si un réel non nul <math>\lambda</math> est valeur propre de <math>T</math>, alors il existe une fonction <math>f</math> de classe C{{exp|2}} sur <math>[0,1]</math> telle que <math>\lambda f''=-f</math> et <math>f(0)=f(1)=0</math>.
:'''b)''' En déduire que toutes les valeurs propres non nulles de <math>T</math> sont données par <math>\lambda_n=\frac1{(n\pi)^2}</math> et qu'une suite orthonormée <math>(e_n)</math> de vecteurs propres associés est donnée par <math>e_n(x)=\sqrt2\sin(n\pi x)</math>. Le réel <math>0</math> est-il valeur propre ? En déduire que les <math>(e_n)</math> forment une base hilbertienne de <math>H</math>.
:'''c)''' Que vaut <math>\|T\|</math> ?
{{en cours}}
| |||