« Espaces de Banach/Devoir/Diagonalisation d'un opérateur autoadjoint compact » : différence entre les versions
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{{Wikipédia|Opérateur autoadjoint}}{{Wikipédia|Opérateur compact}}
Dans ce problème, <math>H</math> est un espace de Hilbert séparable de dimension infinie sur <math>\R
*les valeurs propres d'un opérateur autoadjoint sont réelles ;
*<math>\|T\|=\sup_{\|u\|=\|v\|=1}\left|\langle Tu,v\rangle\right|</math> :
*si <math>T</math> est auto-adjoint on a aussi <math>\|T\|=\sup_{\|u\|=1}\left|\langle Tu,u\rangle\right|</math>.
<u>'''Partie I.'''</u> Soit <math>T</math> un opérateur autoadjoint compact sur <math>H</math>.
'''1) a)''' Montrer que si <math>T(F)\subset F</math> alors <math>T(F^\bot)\subset F^\bot</math>.
:'''b)''' Montrer que deux espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
'''2) a)''' Soit <math>(u_n)</math> une suite orthonormée. Montrer qu'on ne peut en extraire aucune sous-suite de Cauchy, donc aucune sous-suite convergente.
:'''b)''' Désormais, <math>(u_n)</math> est une suite orthonormée de vecteurs propres associés à des valeurs propres non nulles (non nécessairement distinctes) <math>\lambda_n</math>. Déduire de la question précédente que <math>\lambda_n\to0</math> ''(on raisonnera par l'absurde, en remarquant que <math>u_n=Tv_n</math> avec <math>v_n=\frac1{\lambda_n}u_n</math>)''.
:'''c)''' En déduire que tous les sous-espaces propres de <math>T</math> sont de dimension finie à l'exception de <math>\ker T</math>.
'''3)''' Montrer que <math>\|T\|</math> ou <math>-\|T\|</math> est une valeur propre. ''(On pensera
à la caractérisation de <math>\|T\|</math> rappelée au début.)''
'''4) a)''' En déduire que les valeurs propres non nulles forment une suite telle que <math>|\lambda_0|\ge|\lambda_1|\ge\dots\ge|\lambda_n|\ge\dots</math>, que les espaces propres associés <math>F_k</math> sont deux à deux orthogonaux, et que <math>\left(\oplus_kF_k\right)^\bot=\ker T</math>.
:'''b)''' Montrer que <math>T</math> est la limite (au sens de la norme des opérateurs) des <math>T_n:=T\Pi</math> où <math>\Pi</math> désigne la projection orthogonale sur <math>\oplus_{0\le k\le n}F_k</math>.
:<math>K(t,x)=\min(t,x)\left(1-\max(t,x)\right)</math>, puis <math>Tf(x)=\int_0^1K(t,x)f(t)\,\mathrm dt</math>.▼
▲:<math>K(t,x)=\min(t,x)\left(1-\max(t,x)\right)</math>
'''1)''' Montrer que <math>T</math> est un opérateur autoadjoint compact sur <math>H</math> et que son image est incluse dans le sous-espace des fonctions continues sur <math>[0,1]</math>.
'''2) a)''' Montrer si un réel non nul <math>\lambda</math> est valeur propre de <math>T</math>, alors il existe une fonction <math>f</math> de classe C{{exp|2}} sur <math>[0,1]</math> telle que <math>\lambda f''=-f</math> et <math>f(0)=f(1)=0</math>.
:'''b)''' En déduire que toutes les valeurs propres non nulles de <math>T</math> sont données par <math>\lambda_n=\frac1{(n\pi)^2}</math> et qu'une suite orthonormée <math>(e_n)</math> de vecteurs propres associés est donnée par <math>e_n(x)=\sqrt2\sin(n\pi x)</math>. Le réel <math>0</math> est-il valeur propre ? En déduire que les <math>(e_n)</math> forment une base hilbertienne de <math>H</math>.
:'''c)''' Que vaut <math>\|T\|</math> ?
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