« Espaces de Banach/Devoir/Diagonalisation d'un opérateur autoadjoint compact » : différence entre les versions
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Ligne 14 :
<u>'''Partie I.'''</u> Soit <math>T</math> un opérateur autoadjoint compact sur <math>H</math>.
'''1) a)''' Montrer que si un sous-espace de <math>
:'''b)''' Montrer que deux espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
'''2) a)''' Soit <math>(u_n)</math> une suite orthonormée. Montrer qu'on ne peut en extraire aucune sous-suite de Cauchy, donc aucune sous-suite convergente.
Ligne 31 :
:'''b)''' En déduire que toutes les valeurs propres non nulles de <math>T</math> sont données par <math>\lambda_n=\frac1{(n\pi)^2}</math> et qu'une suite orthonormée <math>(e_n)</math> de vecteurs propres associés est donnée par <math>e_n(x)=\sqrt2\sin(n\pi x)</math>. Le réel <math>0</math> est-il valeur propre ? En déduire que les <math>(e_n)</math> forment une base hilbertienne de <math>H</math>.
:'''c)''' Que vaut <math>\|T\|</math> ?
{{Solution|contenu=
<u>'''Partie I.'''
'''1) a)''' Soient <math>F</math> un sous-espace de <math>H</math> stable par <math>T</math> et <math>u\in F^\bot</math>. Pour tout <math>v\in F</math>, on a <math>w:=Tv\in F</math> donc <math>\langle Tu,v\rangle=\langle u,T^*v\rangle=\langle u,w\rangle=0</math>.
:'''b)''' Si <math>Tu=\lambda u</math> et <math>Tv=\mu v</math> avec <math>\lambda\ne\mu</math>, alors <math>\lambda\langle u,v\rangle=\langle Tu,v\rangle=\langle u,Tv\rangle=\mu\langle u,v\rangle</math> donc <math>\langle u,v\rangle=0</math>.
'''2) a)''' Pour tous <math>p,q</math> distincts, <math>\|u_p-u_q\|=\sqrt2</math>.
{{en cours}}
}}
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| idfaculté = mathématiques
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