« Espaces de Banach/Devoir/Diagonalisation d'un opérateur autoadjoint compact » : différence entre les versions
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Ligne 31 :
:'''b)''' En déduire que toutes les valeurs propres non nulles de <math>T</math> sont données par <math>\lambda_n=\frac1{(n\pi)^2}</math> et qu'une suite orthonormée <math>(e_n)</math> de vecteurs propres associés est donnée par <math>e_n(x)=\sqrt2\sin(n\pi x)</math>. Le réel <math>0</math> est-il valeur propre ? En déduire que les <math>(e_n)</math> forment une base hilbertienne de <math>H</math>.
:'''c)''' Que vaut <math>\|T\|</math> ?
'''3)''' Montrer que <math>K(t,x)=\frac2{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n\pi x)\sin(n\pi t)}{n^2}</math>, au sens <math>\mathrm L^2</math> ''(on pourra remarquer ou admettre que les <math>h_{n,k}(t,x):=e_n(t)e_k(x)</math> pour <math>k,n\in\N</math> forment une base hilbertienne de <math>H\times H</math>)''
:Montrer qu'en fait cette égalité est vraie pour tout <math>(t,x)</math>.
'''4)''' En calculant <math>\|K\|_2^2</math> de deux manières, en déduire que <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{90}</math>.
{{Solution|contenu=
<u>'''Partie I.'''
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