« Espaces de Banach/Devoir/Diagonalisation d'un opérateur autoadjoint compact » : différence entre les versions
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'''1)''' Montrer que <math>T</math> est un opérateur autoadjoint compact sur <math>H</math> et que son image est incluse dans le sous-espace des fonctions continues sur <math>[0,1]</math>.
'''2) a)'''
:'''b)''' En déduire que toutes les valeurs propres non nulles de <math>T</math> sont données par <math>\lambda_n=\frac1{(n\pi)^2}</math> et qu'une suite orthonormée <math>(e_n)</math> de vecteurs propres associés est donnée par <math>e_n(x)=\sqrt2\sin(n\pi x)</math>. Le réel <math>0</math> est-il valeur propre ? En déduire que les <math>(e_n)</math> forment une base hilbertienne de <math>H</math>.
:'''c)''' Que vaut <math>\|T\|</math> ?
Ligne 33 :
:Montrer qu'en fait cette égalité est vraie pour tout <math>(t,x)</math>.
'''4)''' En calculant <math>\|K\|_2^2</math> de deux manières, en déduire que <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{90}</math>.
{{Solution|contenu=
<u>'''Partie I.'''</u>
Ligne 49 ⟶ 48 :
'''1)''' <math>T</math> est compact par restriction, et autoadjoint parce que <math>K</math> est symétrique. Pour toute <math>f\in H</math>, <math>Tf</math> est continue par uniforme continuité de <math>K</math>.
'''2) a)'''
:'''b)''' En résolvant l'équation différentielle, on en déduit : <math>f(x)=C\sin(n\pi x)</math> avec <math>n\in\N^*</math> et <math>\lambda=\frac1{(n\pi)^2}</math>. Donc les valeurs propres non nulles de <math>T</math> sont <math>\lambda_n=\frac1{(n\pi)^2}</math> et le sous-espace propre associé est la droite engendrée par le vecteur unitaire <math>e_n:x\mapsto\sqrt2\sin(n\pi x)</math>. Le réel <math>0</math> n'est pas valeur propre car (par le même calcul que dans la question précédente)<math>0=Tf\Rightarrow0=-f</math>. D'après la partie I, les <math>e_n</math> forment donc une base hilbertienne de H.
:'''c)''' <math>\|T\|=\lambda_1=\frac1{\pi^2}</math>.
'''3)''' <math>K(t,x)=\sum_{n,k\in\N^*}\mu_{n,k}e_n(t)e_k(x)</math>, avec <math>\sum_{n,k\in\N^*}\mu_{n,k}e_k(x)=\langle K(\cdot,x),e_n\rangle=T(e_n)(x)=\lambda_ne_n(x)</math> donc <math>\mu_{n,n}=\lambda_n</math> et les autres <math>\mu_{n,k}</math> sont nuls. Par continuité des deux membres, cette égalité dans <math>\mathrm L^2([0,1]^2)</math> est en fait une égalité point par point.
'''4)''' On en déduit : <math>\|K\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\lambda_n^2=\frac1{\pi^4}\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}</math>. Or par calcul direct, <math>\|K\|_2^2=2\int_0^1(1-x)^2\left(\int_0^xt^2\,\mathrm dt\right)\,\mathrm dx=\frac23\int_0^1(1-x)^2x^3\,\mathrm dx=\frac23\left(\frac14-\frac25+\frac16\right)=\frac1{90}</math>.
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