« Espaces de Banach/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions

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*Si <math>(\lambda_n)_n</math> n'est pas bornée, non seulement <math>T</math> n'est pas continue de <math>\ell^p</math> dans lui-même, mais <math>T</math> n'envoie même pas <math>\ell^p</math> dans <math>\ell^p</math>. En effet, <math>(\lambda_n^p)_n</math> n'est pas bornée donc <math>\exists g\in\ell^1\quad(\lambda_n^pg_n)_{n\in\N}\notin\ell^1</math> donc (en posant <math>f_n=|g_n|^{1/p}</math>) <math>\exists f\in\ell^p~T(f)\notin\ell^p</math>.
*On a utilisé le fait que si <math>F</math> est complet alors toute limite, dans <math>\mathcal L(E,F)</math>, d'une suite d'opérateurs de rang fini, est un opérateur compact [[w:Propriété d'approximation|La réciproque]] est fausse en général (même avec <math>F</math> Banach séparable), mais vraie si <math>F</math> est un Hilbert (non nécessairement séparable) (en utilisant la précompacité et des projections orthogonales).
}}
 
==Exercice 3-5==
Soit <math>E=C^0([0,1],\R)</math> muni de la norme uniforme, et <math>k:[0,1]\times[0,1]\to\R</math> une application continue. Soit <math>K:E\to E</math> l'application linéaire qui à <math>f\in E</math> associe <math>Kf</math> définie par
:<math>Kf(x)=\int_0^1k(x,y)f(y)\,\mathrm dy</math>.
#Montrer que <math>K</math> est continue.
#Montrer que <math>k</math> peut être approximée uniformément par une suite de polynômes à deux variables, que l'on notera <math>(p_n)_n</math>.
#On définit <math>K_n:E\to E</math> l'application qui à <math>f\in E</math> associe <math>K_nf</math> définie par <math>K_nf(x)=\int_0^1p_n(x,y)f(y)\,\mathrm dy</math>. Montrer que <math>K_n</math> est un opérateur de rang fini pour tout <math>n</math>.
#Montrer que <math>K_n\to K</math>, ce qui prouve que <math>K</math> est un opérateur compact {{supra|Exercice 3-2}}.
{{Solution|contenu=
#<math>|\!|\!|K|\!|\!|\le\|k\|_2</math>.
#C'est la version à deux variables du [[Suites et séries de fonctions/Approximation de fonctions|théorème d'approximation de Weierstrass]].
#Si <math>p_n(x,y)</math> est de degré <math>m</math> en <math>x</math>, <math>K_n</math> est à valeurs dans <math>\R_m[X]</math>.
#<math>|\!|\!|K-K_n|\!|\!|\le\|k-p_n\|_2\le\|k-p_n\|_\infty</math>.
}}