« Anneau (mathématiques)/Idéal d’un anneau commutatif » : différence entre les versions
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Ligne 58 :
== Divisibilité dans un anneau intègre ==
On suppose dans cette section que l'anneau <math>A</math> est
{{Définition|contenu=
Ligne 67 :
La [[Arithmétique/Divisibilité et congruences dans Z#Multiples d’un entier relatif, divisibilité dans Z|relation « divise »]] est donc un [[Relation (mathématiques)/Relation d'ordre|préordre]] et la relation d'association est la [[Relation (mathématiques)/Relation d'équivalence|relation d'équivalence]] liée à ce préordre.
{{Propriété|contenu=Si l'anneau <math>A</math> est [[Anneau (mathématiques)/Définitions#Anneau intègre|intègre]] alors
<math>a</math> et <math>b</math> sont associés (si et) seulement s'il existe dans <math>A</math> un élément inversible <math>u</math> tel que <math>b=ua</math>.
{{CfExo
| idfaculté =mathématiques
| exercice = [[../Exercices/Exercices#Exercice 11|un contre-exemple dans le cas non intègre]]}}
}}
{{Démonstration déroulante|
Si <math>b=ua</math> avec <math>u</math> inversible alors <math>b\in(a)</math> et <math>a=u^{-1}b\in(b)</math> donc <math>a</math> et <math>b</math> sont associés.
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