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« Polynôme/Arithmétique des polynômes » : différence entre les versions

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relecture partielle, dont permutations de § et réécriture d'une preuve
Ligne 93 :
| titre = Définition : Divisiblité
| contenu =
Soient <math>A</math> et <math>B</math> deux polynômes.<br />
 
On dit que <math>B</math> '''divise''' <math>A</math> (ce qu'on note <math>B|\mid A</math> ) s'il existe <math>P\in K[X]</math> tel que <math>A = PB</math> :
:<math>B\mid A\iff \exists P\in K[X]\quad A = PB</math>.
}}
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| titre = Propriétés
| contenu =
Soient <math>A,B,C\in K[X]</math> et <math>\lambda\in K^*</math>.
* #<math>A|\mid\lambda \iff A\mathrmtext{\; constant\;.}</math>
* #<math>A|B\mid B\mathrmtext{\; et\; } B|C\mid C\Rightarrow A|\mid C</math> (''Transitivité''[[Relation (mathématiques)/Définition|transitivité]]).
* #<math>A|B\mid B\mathrmtext{\; et\; } A|C\mid C\Rightarrow A|\mid BU+CV\;quad\forall U,V\in K[X]</math> .
* #<math>\left(A|B\mid B\mathrmtext{\; et\;} }B|\mid A\right) \iff \left(\exist \lambdamu\in K |^*\quad A = \lambdamu B\right)</math> .
}}
 
Ligne 121 ⟶ 122 :
 
'''Remarques :'''
* <math> P|\mid Q \iff \operatorname{pgcd}(P;,Q) = P \iff \operatorname{ppcm}(P;,Q) = Q</math> .
* On démontre facilement que deuxDeux PGCD ou PPCM d'un même couple de polynômes sont associés (c'est-à-dire égaux à une constante multiplicative près).
* Comme dans <math>\mathbb Z</math>, deux polynômes sont dits '''premiers entre eux''' si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).
 
Ligne 131 ⟶ 132 :
| titre = Lemme d'Euclide
| contenu =
Soient <math>A,B\in K[X]</math>. Alors <math>\forall P,Q,R\in K[X]</math>, si <math>A = BPBQ+QR</math> on a :
:<math>\operatorname{pgcd}(A;,B) = \operatorname{pgcd}(B;Q,R)</math>.
}}
 
{{Démonstration déroulante
| contenu =
Il faut montrer que l’ensemble <math>\mathcal D(A;,B)</math> des diviseurs communs à <math>A</math> et <math>B</math> est égal à <math>\mathcal D(B;Q,R)</math>. On raisonne donc par implications successives.
 
Soit <math>(C</math> un diviseur de <math>B</math>. ALors, <math>C\subset)mid A\Rightarrow C\mid A-BQ=R</math> :et Soitréciproquement, <math>C\inmid R\mathcalRightarrow D(C\mid BQ+R=A;B)</math>.
 
Alors <math>C|A\mathrm{\;et\;}C|B \Rightarrow C|Q = A-BP</math> d'où l’on tire que <math>C\in\mathcal D(B;Q)</math>.
 
<math>(\supset)</math> : Soit <math>C\in\mathcal D(B;Q)</math>.
 
Alors <math>C|B\mathrm{\;et\;}C|Q \Rightarrow C|A = BP+Q</math> d'où l’on tire que <math>C\in\mathcal D(A;B)</math>.
 
On a bien l'égalité <math>\mathcal D(A;B) = \mathcal D(B;Q)</math> : si ces ensembles sont égaux, alors leurs plus grands éléments aussi, d'où le résultat.
Ligne 174 ⟶ 169 :
 
== Théorèmes d'arithmétique ==
Ces théorèmes se démontrent comme dans <math>\Z</math> .
 
{{Théorème
Ligne 189 ⟶ 184 :
 
Si <math>A\mid BC</math> et <math>\operatorname{pgcd}(A,B) = 1</math>, alors <math>A\mid C</math>.
}}▼
 
== Polynômes premiers et irréductibles ==▼
 
{{Définition▼
| titre = Définition : Polynômes premiers et irréductibles▼
| contenu =▼
Soit <math>P\in K[X]</math> non constant.▼
* Le polynôme <math>P</math> est dit '''irréductible''' si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et ceux de la forme <math>\lambda P (\mathrm{\;avec\;} \lambda\in K)</math>.▼
* Le polynôme <math>P</math> est dit '''premier''' si :▼
*:<math>\forall A,B\in K[X]\quad P\mid AB \Rightarrow\left(P\mid A\text{ ou }P\mid B\right)</math>.▼
}}▼
 
{{Théorème
| contenu =▼
Un polynôme est premier si, et seulement si, il est irréductible.▼
}}▼
 
On se permet ainsi de confondre les deux notions. La démonstration se fait comme dans <math>\Z</math> .▼
 
On démontre aussi :
{{Théorème
| contenu =▼
<math>K[X]</math> est un anneau '''factoriel''' ; cela signifie que, comme dans <math>\Z</math>, tout polynôme non constant admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l’ordre des facteurs près.▼
}}
 
== Idéaux de ''K''[''X''] ==
La définition d'un idéal est donnée dans [[Anneau (mathématiques)|le cours sur les anneaux]].
 
{{Théorème
| contenu =
<math>''K''[''X'']</math> est un [[Anneau (mathématiques)/Anneau principal|anneau '''principal''']], ce qui signifie que tout [[Anneau (mathématiques)/Définitions#Idéaux|idéal]] yde ''K''[''X''] est principal : plus précisément, si <math>I</math> est un idéal de <math>''K''[''X'']</math>, alors :
:<math>\exists P\in K[X]\quad I = (P) = \{PQ\mid Q\in K[X]\}</math>.
}}
Ligne 238 ⟶ 207 :
Ceci prouve que <math>I\subset(B)</math> donc finalement, <math>I=(B)</math>.
}}
 
{{Corollaire
▲ | contenu =
▲<math>K[X]</math> est un anneau '''factoriel''' ; cela signifie que, comme dans <math>\Z</math>, tout polynôme non constant admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l’ordre des facteurs près.
▲}}
▲== Polynômes premiers et irréductibles ==
 
▲{{Définition
▲ | titre = Définition : Polynômes premiers et irréductibles
▲ | contenu =
▲Soit <math>P\in K[X]</math> non constant.
▲* Le polynôme <math>P</math> est dit '''irréductible''' si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et ceux de la forme <math>\lambda P \;(\mathrm{\;avec\;} \lambda\in K)</math>.
▲* Le polynôme <math>P</math> est dit '''premier''' si :
▲*:<math>\forall A,B\in K[X]\quad P\mid AB \Rightarrow\left(P\mid A\text{ ou }P\mid B\right)</math>.
▲}}
 
Comme dans tout anneau factoriel, on a :
{{Corollaire
▲ | contenu =
▲Un polynôme est premier si, et seulement si, il est irréductible.
▲}}
 
▲On se permet ainsi de confondre les deux notions. La démonstration se fait comme dans <math>\Z</math> .
 
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