« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions

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<math>P_3</math> est irréductible sur <math>\Q</math>. En effet, comme il est unitaire, il serait sinon réductible sur <math>\Z</math>. Or une étude de variations montre rapidement que sur <math>\R</math>, <math>P_3</math> est strictement positif (de minimum <math>P_3(0)=1</math>) donc produit de trois polynômes irréductibles de degré 2. Aucun d'eux n'est à coefficients entiers, sinon on aurait <math>P_3(X)=(X^2+aX+b)(X^4-aX^3+cX^2-aX+b)</math> avec <math>a,c\in\Z,b=\pm1,b+c-a^2=2,a(c-b-1)=-1,b-a^2+bc=3</math>, ce qui implique <math>a=\pm1</math> et <math>3-b=c=4b-1</math> donc <math>4=5b=\pm5</math>, absurde.
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==Exercice 4-4==
Soit <math>P=X^5+2X^3-24X-2</math>.
#Montrer que <math>P</math> est irréductible dans <math>\Z[X]</math>.
#Soient <math>x_1,\cdots, x_5</math> ses racines complexes. Calculer <math>p_2:=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2</math> et en déduire que les racines de <math>P</math> ne sont pas toutes réelles.
#Combien <math>P</math> a-t-il de racines réelles ? (On pourra calculer <math>P(-1)</math> et <math>P(0)</math>).
{{Solution|contenu=
#Comme <math>P</math> est à coefficients premiers entre eux, pour voir qu'il est irréductible dans <math>\Z[X]</math> il suffit d'appliquer le {{w|critère d'Eisenstein}} avec <math>p=2</math>.
#Notons <math>\sigma_1=\sum x_i</math> et <math>\sigma_2=\sum_{i<j}x_ix_j</math>. L'une des [[w:Identités de Newton#Expression des sommes de Newton|identités de Newton]] (ou un calcul direct) montre que <math>p_2=\sigma_1^2-2\sigma_2</math>. Ici <math>\sigma_1=0</math> et <math>\sigma_2=2</math>, donc <math>p_2<0</math>. Les <math>x_i</math> ne peuvent donc pas être tous réels.
#<math>P(-1)=19>0</math> et <math>P(0)=-2<0</math> donc <math>P</math> a une racine réelle au moins entre <math>-\infty</math> et <math>-1</math>, une entre <math>-1</math> et <math>0</math>, et une entre <math>0</math> et <math>+\infty</math>. Mais <math>P</math> a au moins une racine complexe non réelle d'après la question précédente, et même deux puisque le conjugué d'une racine est aussi racine. Donc <math>P</math> a exactement trois racines réelles.
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