« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions

#Notons <math>\sigma_1=\sum x_i</math> et <math>\sigma_2=\sum_{i<j}x_ix_j</math>. L'une des [[w:Identités de Newton#Expression des sommes de Newton|identités de Newton]] (ou un calcul direct) montre que <math>p_2=\sigma_1^2-2\sigma_2</math>. Ici <math>\sigma_1=0</math> et <math>\sigma_2=2</math>, donc <math>p_2<0</math>. Les <math>x_i</math> ne peuvent donc pas être tous réels.
#<math>P(-1)=19>0</math> et <math>P(0)=-2<0</math> donc <math>P</math> a une racine réelle au moins entre <math>-\infty</math> et <math>-1</math>, une entre <math>-1</math> et <math>0</math>, et une entre <math>0</math> et <math>+\infty</math>. Mais <math>P</math> a au moins une racine complexe non réelle d'après la question précédente, et même deux puisque le conjugué d'une racine est aussi racine. Donc <math>P</math> a exactement trois racines réelles.
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==Exercice 4-5==
Soit <math>P=11X^{12}+26X^6+65X^4-169X-5200</math>.
#Montrer que <math>P</math> est irréductible sur <math>\Q</math> et sur <math>\Z</math> mais pas sur <math>\R</math>.
#Montrer que <math>P</math> a exactement deux racines réelles non rationnelles.
{{Solution|contenu=
#D'après le {{w|critère d'Eisenstein}} avec <math>p=13</math>, <math>P</math> est irréductible sur <math>\Q</math>. Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur <math>\Z</math>. Il ne l'est pas sur <math>\R</math> puisqu'il est de degré <math>>2</math>.
#<math>P'=132X^{11}+156X^5+260X^3-169</math> donc <math>P''=1452X^{10}+780X^4+780X^2</math>, or <math>P(0)<0</math>. Par [[Fonctions convexes|convexité]], <math>P</math> a donc exactement deux racines réelles. Puisqu'il est irréductible sur <math>\Q</math>, ces racines sont irrationnelles.
}}
 
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