« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions

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#D'après le {{w|critère d'Eisenstein}} avec <math>p=13</math>, <math>P</math> est irréductible sur <math>\Q</math>. Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur <math>\Z</math>. Il ne l'est pas sur <math>\R</math> puisqu'il est de degré <math>>2</math>.
#<math>P'=132X^{11}+156X^5+260X^3-169</math> donc <math>P''=1452X^{10}+780X^4+780X^2</math>, or <math>P(0)<0</math>. Par [[Fonctions convexes|convexité]], <math>P</math> a donc exactement deux racines réelles. Puisqu'il est irréductible sur <math>\Q</math>, ces racines sont irrationnelles.
}}
 
==Exercice 4-6==
Soient <math>a\in\N^*</math> et (pour <math>d\in\N</math>), <math>d</math> entiers relatifs distincts <math>b_1,\dots,b_d</math>. On pose
:<math>P=(X^2+a)\prod_{k=1}^d(X-b_k)</math>
puis, pour tout <math>n\in\N^*</math> :
:<math>Q_n=P+\frac p{p^{n(d+2)}}</math>
où <math>p</math> est un nombre premier fixé.
#Montrer que pour <math>n</math> assez grand, <math>Q_n</math> a exactement <math>d</math> racines réelles.
#Montrer que <math>Q_n</math> est irréductible dans <math>\Q[X]</math>.
{{Solution|contenu=
#Montrons d'abord que pour <math>n</math> assez grand, <math>Q_n</math> n'a pas de racine double dans <math>\R</math> : puisque <math>P</math> n'a que des racines simples, les racines de <math>Q'_n=P'</math> ne sont pas racines de <math>P</math> donc le réel <math>\varepsilon:=\min_{P'(x)=0}|P(x)|</math> est strictement positif. Si <math>\frac p{p^{n(d+2)}}<\varepsilon</math>, <math>Q_n(x)</math> sera strictement de même signe que <math>P(x)</math> en ces racines, donc sera non nul.<br>Montrons maintenant que pour <math>n</math> assez grand, <math>Q_n</math> a au moins <math>d</math> racines réelles. En <math>c_0:=-\infty</math>, <math>c_k:=\frac{b_k+b_{k+1}}2</math> (pour <math>1\le k<d</math>) et <math>c_d:=+\infty</math>, <math>P</math> est alternativement strictement positif et strictement négatif et (par le même raisonnement que précédemment) <math>Q_n</math> est de même signe si <math>n</math> est assez grand. Alors, <math>Q_n</math> a au moins <math>d</math> racines réelles <math>d_k\in\left]c_k,c_{k+1}\right[</math> (pour <math>0\le k<d</math>).<br>Enfin, {{Pourquoi<!--pb : P et Q_n ne sont pas interchangeables car P est fixe-->|par le même raisonnement, pour <math>n</math> assez grand,|date=10 février 2022}} <math>P</math> a au moins autant de racines réelles que <math>Q_n</math>, ce qui revient à dire que <math>Q_n</math> a au plus <math>d</math> racines réelles.
#D'après le {{w|critère d'Eisenstein}}, le polynôme unitaire <math>p^{n(d+2)}Q_n(X/p^n)\in\Z[X]</math> est irréductible sur <math>\Q</math> donc <math>Q_n</math> aussi.
}}
 
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