« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions

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#Montrer que <math>Q_n</math> est irréductible dans <math>\Q[X]</math>.
{{Solution|contenu=
#Montrons d'abord que pourEn <math>nc_0:=-\infty</math> assez grand, <math>Q_nc_k:=\frac{b_k+b_{k+1}}2</math> n'a pas de racine double dans(pour <math>1\Rle k<d</math>) : puisqueet <math>Pc_d:=+\infty</math> n'a que des racines simples, les racines de <math>Q'_n=P'</math> neest sontalternativement passtrictement racinespositif deet <math>P</math>strictement donc lenégatif. réelPosons <math>\varepsilon:=\min_{P'(x)=01\le k<d}|P(xc_k)|</math> est strictement positif. Si <math>\frac p{p^{n(d+2)}}<\varepsilon</math>, <math>Q_n(x)</math> sera strictement de même signe que <math>P(x)</math> en ces racines, donc sera non nul[[wikt:c.<br>Montrons-à-d.|c.-à-d.]] maintenant que poursi <math>n</math> est assez grand, <math>Q_n</math> a au moins <math>d</math> racines réelles. En <math>c_0:=-\infty</math>,chaque <math>Q_n(c_k:=\frac{b_k+b_{k+1}}2)</math> (pour <math>10\le k<\le d</math>) et <math>c_d:=+\infty</math>, <math>P</math> est alternativement strictement positif et strictement négatif et (par le même raisonnement que précédemment) <math>Q_n</math> est de même signe sique <math>nP(x)</math> est assez grand. Alors, <math>Q_n</math> a ''au moins'' <math>d</math> racines réelles <math>d_k\in\left]c_k,c_{k+1}\right[</math> (pour <math>0\le k<d</math>).<br>EnfinD'autre part, {{Pourquoi<!--pb[[Calcul :différentiel/Exercices/Inversion Plocale, etfonctions Q_nimplicites#Exercice ne6|d'après sontle pasthéorème interchangeablesdes carfonctions P est fixe-->|par le même raisonnementimplicites]], pour <math>n</math> assez grand,|date=10 février 2022}}les <math>Pd+2</math> aracines au moins autantcomplexes de racines<math>Q_n</math> réellessont queà distance <math>Q_n<\sqrt a</math>, cede quicelles revientde à<math>P</math>. direEn queparticulier, <math>Q_n</math> a alors ''au plus'' <math>d</math> racines réelles car au moins deux racines non réelles (à distance <math><\sqrt a</math> de <math>\pm\mathrm i\sqrt a</math>).
#D'après le {{w|critère d'Eisenstein}}, le polynôme unitaire <math>p^{n(d+2)}Q_n(X/p^n)\in\Z[X]</math> est irréductible sur <math>\Q</math> donc <math>Q_n</math> aussi.
}}
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