« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions

#En <math>c_0:=-\infty</math>, <math>c_k:=\frac{b_k+b_{k+1}}2</math> (pour <math>1\le k<d</math>) et <math>c_d:=+\infty</math>, <math>P</math> est alternativement strictement positif et strictement négatif. Posons <math>\varepsilon:=\min_{1\le k<d}|P(c_k)|</math>. Si <math>\frac p{p^{n(d+2)}}<\varepsilon</math> — [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] si <math>n</math> est assez grand — chaque <math>Q_n(c_k)</math> (pour <math>0\le k\le d</math>) est strictement de même signe que <math>P(xc_k)</math>. Alors, <math>Q_n</math> a ''au moins'' <math>d</math> racines réelles <math>d_k\in\left]c_k,c_{k+1}\right[</math> (pour <math>0\le k<d</math>).<br>D'autre part, [[Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites#Exercice 6|d'après le théorème des fonctions implicites]], pour <math>n</math> assez grand, les <math>d+2</math> racines complexes de <math>Q_n</math> sont à distance <math><\sqrt a</math> de celles de <math>P</math>. En particulier, <math>Q_n</math> a alors ''au plus'' <math>d</math> racines réelles car au moins deux racines non réelles (à distance <math><\sqrt a</math> de <math>\pm\mathrm i\sqrt a</math>).