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==Exercice 4-5==
Soit#Le polynôme <math>P=11X^{12}+26X^6+65X^4-169X-5200</math>. est-il irréductible sur <math>\Q</math> ? sur <math>\Z</math> ? sur <math>\R</math> ?
#Montrer que <math>P</math> est irréductible sur <math>\Q</math> et sur <math>\Z</math> mais pas sur <math>\R</math>.
#Montrer que <math>P</math> a exactement deux racines réelles non rationnelles.
#Le polynôme <math>Q=2X^{17}-3X^7+9X^4-6X+93</math> est-il irréductible sur <math>\Z</math> ? sur <math>\R</math> ?
#MontrerLe quepolynôme <math>PR=2X^4+6X^3+18X+48</math> est-il irréductible sur <math>\QZ</math> et? sur <math>\ZQ</math> mais pas? sur <math>\R</math>. ?
{{Solution|contenu=
#D'après le {{w|critère d'Eisenstein}} avec <math>p=13</math>, <math>P</math> est irréductible sur <math>\Q</math>. CommeAucun de plusces ses coefficients sont premiers entre eux, ilpolynômes n'est donc aussi irréductible sur <math>\Z</math>. Il ne l'est pas sur <math>\R</math> puisqu'ilils estsont de degré <math>>2</math>.
#D'après le {{w|critère d'Eisenstein}} avec <math>p=13</math>, <math>P</math> est irréductible sur <math>\Q</math>. Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur <math>\Z</math>.
#<math>P'=132X^{11}+156X^5+260X^3-169</math> donc <math>P''=1452X^{10}+780X^4+780X^2</math>, or <math>P(0)<0</math>. Par [[Fonctions convexes|convexité]], <math>P</math> a donc exactement deux racines réelles. Puisqu'il est irréductible sur <math>\Q</math>, ces racines sont irrationnelles.
#D'après le critère d'Eisenstein avec <math>p=3</math>, <math>Q</math> est irréductible sur <math>\Q</math>. Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur <math>\Z</math>.
#<math>R=2(X^4+3X^3+9X+24)</math> n'est pas irréductible sur <math>\Z</math>. D'après le critère d'Eisenstein avec <math>p=3</math>, il est irréductible sur <math>\Q</math>.
}}
 
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